ｸｲｽﾞ大陸

さらに放置しすぎた…
待ちに待った（誰も待ってない？）解答発表です 　（うぅ、長くなりそうだ〜

-----（以下方法のみ。証明は次です。）-----
目標としては辺の中点を探すことには違いないのですが、実を言うと一発作図ではありません。
正方形の二辺を延長した長方形を探すことを目標とします。
（↓こんな感じです）

ＡーーＤーーーＫ
｜　　｜　　　｜
｜　　｜　　　｜
ＢーーＣーーーＪ

この長方形が作図できると、次に長方形の対角線の交点と正方形の対角線の交点とを直線で結びます。
この直線が辺を二等分するので、辺の中点が求まります。

以下は実際に長方形を作図する方法です。
なお説明が煩雑なので、もし検証していただけるなら図に書きながらやっていただけるとより分かりやすくなると思います。
あと、あれこれ線を引っ張るのでフリーハンドではなくものさしを使っていただいたほうが、より正確になっていいかと思います。

（よしいくぞー

正方形をABCDとします（上のように左上から反時計回りにABCDとふっていきます）。
また正方形の対角線の交点をEとします。
あらかじめ辺BCと辺ADをそれぞれCとDの外側に延長して長方形を書く準備をしておきます。
（これも上のような感じです）
（正方形の右側にたくさんスペースがあるようにしておくと、あとで困らないと思います）

直線を延長する場合は半直線をイメージしやすいように、延長する側を後ろにしています。
（例：直線CDを延長→点Cを基点としてD側にのばしていく）

辺CD上で点Dに近いところに適当に点Pをとります。
（だいたい点Dから三分の一ぐらいのところがいいかと）

ただし点PはCDとは異なる、つまり両端をのぞきます。
直線PEと直線CBを延長し交点を点Fとします。
直線BPと直線FDを延長し交点を点Gとします。

直線BPを延長する途中で直線ADを延長したところと交点ができるのでこれを点Hとします。
また直線PEを延長する途中で辺ABとの交点ができるのでこれを点Iとします。
これらは今使いませんが後で証明に使うため、名前をつけときました。

一方直線APと直線BCを延長して交点Jをとります。
辺ADをDの外側へと延長していき、線分GJとの交点Kをとります。
すると実は四角形ABJKが長方形となります。

あとは対角線を引いて交点Lをとり直線ELを引きます。
これが辺ABと辺CDの二等分線になるので中点が求まります。
あとは（１）の方法ですので省略します。

（ふぅ〜