「何度も線をひいて平行線を求める」の平行線は正方形と平行な直線のことでしょうか？これはたぶんダイレクトには無理だと思います。
おっしゃる通り、無限にくりかえして限りなく平行に近づけていく方法もあるでしょうが…これは有限時間で終わらない操作でしょうし…
「あちこち何度も線を引いて中点を求める」のが目標ですので、正方形の辺と平行な線でなくても結果として辺の中点を通ってくれればいいのです。
ヒントの書き方や「繰り返し」という言葉が誤解を与えてしまったかもしれません。
「同じ操作を何度もして極限を求めるような作図をする」
と伝えたかったのではなく、
「一つ点Pをとって正方形の頂点と直線で結び、交点ができて、この点とどこかの点を直線で結ぶ。あるいは点Pと別の頂点とを直線で結び交点ができて…など、いろいろと結んでいくと…」というようなニュアンスを伝えたかったのでしたm(__)m
いはらさんやfyhさんの方法は単純明快で、相似と一つの定理から中点であることが証明されます。
元々の僕の方法は…まあ平行線による相似を使いまくる（5,6回）方法ですね
僕は実際に紙に書いて試行錯誤してたまたまそれっぽくなったので、証明してみると中点だったという感じです。
＞最初の正方形が傾いていず用紙の辺と平行であれば…
これも想定していた別解なので囁いていただければメダルを進呈いたしますよ
ボムボム
平行に近い線をひき
他の線との交差点を参考に
次により平行に近い線をひく・・・・・
こういう繰り返しは確かに可能ですが
この方法は永遠に「平行線」は書けない気がします
正解とは違うと思いますが
最初の正方形が傾いていず
用紙の辺と平行であれば
作図方法をみつけました