ｸｲｽﾞ大陸

では一週間ほど経ったのでヒントをば。

No.6にも書いてあるようにこの問題ではある点を探すことが目標です。
その点を探すためにどうしても必要なのが、正方形の各辺の中点を見つけることです。
模範解答とさせていただいた、いはらさんの方法でも、僕が考えていた当初の方法でもそこに変わりはありません。

作図の方法のポイントですが、正方形が書かれているということで、平行な直線が初めから書かれているということになります。
このことをうまく使い、直線を引くだけで中点を見つけることができます。

作図で使える"ものさし"についてです。
この"ものさし"でできることは「直線を引くこと」ですが、「任意の二点を通る直線」ということを忘れないようにしてください。
つまり、自分で適当に一点とってこの点と正方形の頂点を通る直線を引くことはできます。
あとは直線と直線の交点がでてきて、またこの点と正方形の頂点とを通る直線を引いて…の繰り返しで結果的に正方形の辺の中点を通るような直線が引ければいいわけです。

ちなみに……辺の中点を探すだけなら平行四辺形でも可能です。また
　(1)辺のn等分
　(2)辺のn倍
　(3)任意の点を通る、辺に平行な直線を引く
　(4)与えられた任意の線分のn等分やn倍
ぐらいまでは未検証ですが、できると思います。（ここでnは自然数）
平行四辺形ではここまでだと思いますが、正方形だとさらに
　(5)任意の直線に垂直な直線を引く
こともおそらく可能だと思います。

（7/1追記）