No. 5≫ No.6 最新レスです
いはら
それでは正解を発表し、近々ロックします。
まず、答えは110Gです。以下、長々と解説です。
メロン購入前の所持金の中に1G金貨が11枚以上あった場合、
1Gから所持金合計までのすべての金額をぴったり払うことが可能。
よって1G金貨は10枚以下しか持っていなかった。
当然購入後の所持金内の1G金貨も10枚以下。
購入後の所持金は85=12×7+1なので、1G金貨が1枚残ったことが分かる。
購入した2つのメロンの金額をA,B,残りの3つのメロンの金額をC,D,E、購入前の所持金をSとする。
A+Bを12で割ったときの余りをrとすると、r=支払った1G金貨の枚数であり、
最初に持っていた1G金貨はr+1枚。
A+B+85=S=2(A+B+C+D+E)より、A+Bは奇数。
よってrも奇数と分かり、r=1,3,5,7,9のどれか。
A,B,C,D,E,Sを12で割った余りをそれぞれa,b,c,d,e,sとする。
a,b,c,d,eはすべてr+1より大きく、c,d,eはいずれもa,bとは異なる。
(仮にc=aであれば、C+Bも支払可能となってしまう)
a＜=b、c＜=d＜=eとしても一般性を失わないのでそうなっているものとする。
a+b以外の2つの和を12で割った余りはr+1より大きい。
sは最初に持っていた1G金貨の枚数であり、s=r+1
rの値によって場合分けを行う。
r=9の場合、a,b,c,d,e＞10であり、a=b=c=d=e=11となり不適。
r=7の場合、a,b,c,d,e＞8であり、取りうる値は9から11
r=7になるのは(a,b)=(9,10)のときだけ。c,d,eはa,bと異なるので11のみ。
a+11を12で割った余りはr+1より大きいはずであるが、a+11=12+8なので不適。
r=5の場合、a,b,c,d,e＞6であり、(a,b)=(7,10),(8,9)
(a,b)=(7,10)のとき、c,d,eは8,9,11のいずれか。
a+8=12+3,a+9=12+4,a+11=12+6なので不適。
(a,b)=(8,9)のとき、c,d,eは7,10,11のいずれか。
a+7=12+3,a+10=12+6なので、c,d,e=11
最初に持っていた1G金貨の枚数sは、2(a+b+c+d+e)を12で割った余りなので、s=4
これがr+1と一致しないので不適。
r=3の場合、a,b,c,d,e＞4であり、(a,b)=(5,10),(6,9),(7,8)
(a,b)=(5,10)のとき、c,d,eは6,7,8,9,11のいずれか。
b+6=12+4,a+7=12,a+8=12+1,a+9=12+2,a+11=12+4なので不適。
(a,b)=(6,9)のとき、c,d,eは5,7,8,10,11のいずれか。
b+5=12+2,a+7=12+1,a+8=12+2,a+10=12+4よりc,d,e=11
よって(a,b,c,d,e)=(6,9,11,11,11)であり、s=0となり不適。
(a,b)=(7,8)のとき、c,d,eは5,6,9,10,11のいずれか。
a+5=12,a+6=12+1,a+9=12+4なのでc,d,eは10,11のみ。
よって(c,d,e)=(10,10,10),(10,10,11),(10,11,11),(11,11,11)
それぞれs=6,8,10,0となるので、どれも不適。
r=1の場合、a,b,c,d,e＞2であり、(a,b)=(3,10),(4,9),(5,8),(6,7)
A+B+85=2(A+B+C+D+E)なので、2(C+D+E)=85-(A+B)
右辺を12で割った余りを考えると0になるので、左辺も12で割り切れる。
よってc+d+eは6の倍数になる。
(a,b)=(3,10)のとき、
b+4=12+2,a+9=12,a+11=12+2よりc,d,eは5,6,7,8のみ。
15＜=c+d+e＜=24であるが、6の倍数になるのは18,24のみ。
よって(c,d,e)=(5,5,8),(5,6,7),(6,6,6),(8,8,8)
5+8=12+1,5+7=6+6=12なので、(c,d,e)=(8,8,8)のみが残る★
(a,b)=(4,9)のとき、
b+3=12,b+5=12+2,a+8=12,a+9=12+1,a+10=12+2よりc,d,eは6,7,11のみ。
6+6=12,6+7=12+1,7+7=12+2なので、
(c,d,e)=(6,11,11),(7,11,11),(11,11,11)
いずれもc+d+eが6の倍数にはならないので不適。
(a,b)=(5,8)のとき、
b+4=12,b+6=12+2,a+7=12,a+9=12+2よりc,d,eは3,10,11のみ。
c+d+eが6の倍数なので、c,d,eのうち奇数は偶数個、偶数は奇数個。
よってc,d,e内に10は1個または3個であり、3+10=12+1なので3はない。
従って、(c,d,e)=(10,10,10)★
(a,b)=(6,7)のとき、
b+5=12,8+a=12+2より、c,d,eは3,4,9,10,11のみ
4+10=12+2なので4,10が両方含まれることはない。
偶数3個の場合は、(c,d,e)=(4,4,4),(10,10,10)★
偶数1個の場合、他の2数の和を6で割った余りは2であり、
(3,11),(9,11)の組み合わせのみ。
よって、(c,d,e)=(3,4,11),(3,10,11),(4,9,11),(9,10,11)
3+10=11+1,3+11=12+2,4+9=12+1より、(c,d,e)=(9,10,11)のみが残る★
以上をまとめると、現時点で残っている組み合わせは、
(a,b,c,d,e)=(3,10,8,8,8),(5,8,10,10,10),(6,7,4,4,4),(6,7,10,10,10),(6,7,9,10,11)
の5個のみ。いずれもa+b=13となっている。
上記5個の組み合わせのうち、c=d=eのものについて考察する。
C＜=D＜=Eとしても一般性を失わない。
C,D,Eはすべて異なるので、D＞=C+12,E＞=C+24である。
A+B+85=S=2(A+B+C+D+E)なので、A+B+2(C+D+E)=85のはずであるが、
A+B+2(C+D+E)＞=a+b+2(c+c+12+c+24)=6c+85＞85となり満たさないので不適。
よって唯一残ったのは、(a,b,c,d,e)=(6,7,9,10,11)
このとき、A+B+2(C+D+E)=85と、a+b+2(c+d+e)=73の差を考えると、
(A-a)+(B-b)+2(C-c)+2(D-d)+2(E-e)=12
5つの差はすべて0以上の12の倍数なので、C-c=D-d=E-e=0であり、
A-a=12またはB-b=12のどちらか一方だけが成り立つ。
以上より、(A,B,C,D,E)=(18,7,9,10,11),(6,19,9,10,11)
どちらも購入金額は25G、最初の所持金は110Gとなり、問題の条件もすべて満たしている。
以上よりこの問題の答えは110G。
まず、答えは110Gです。以下、長々と解説です。
メロン購入前の所持金の中に1G金貨が11枚以上あった場合、
1Gから所持金合計までのすべての金額をぴったり払うことが可能。
よって1G金貨は10枚以下しか持っていなかった。
当然購入後の所持金内の1G金貨も10枚以下。
購入後の所持金は85=12×7+1なので、1G金貨が1枚残ったことが分かる。
購入した2つのメロンの金額をA,B,残りの3つのメロンの金額をC,D,E、購入前の所持金をSとする。
A+Bを12で割ったときの余りをrとすると、r=支払った1G金貨の枚数であり、
最初に持っていた1G金貨はr+1枚。
A+B+85=S=2(A+B+C+D+E)より、A+Bは奇数。
よってrも奇数と分かり、r=1,3,5,7,9のどれか。
A,B,C,D,E,Sを12で割った余りをそれぞれa,b,c,d,e,sとする。
a,b,c,d,eはすべてr+1より大きく、c,d,eはいずれもa,bとは異なる。
(仮にc=aであれば、C+Bも支払可能となってしまう)
a＜=b、c＜=d＜=eとしても一般性を失わないのでそうなっているものとする。
a+b以外の2つの和を12で割った余りはr+1より大きい。
sは最初に持っていた1G金貨の枚数であり、s=r+1
rの値によって場合分けを行う。
r=9の場合、a,b,c,d,e＞10であり、a=b=c=d=e=11となり不適。
r=7の場合、a,b,c,d,e＞8であり、取りうる値は9から11
r=7になるのは(a,b)=(9,10)のときだけ。c,d,eはa,bと異なるので11のみ。
a+11を12で割った余りはr+1より大きいはずであるが、a+11=12+8なので不適。
r=5の場合、a,b,c,d,e＞6であり、(a,b)=(7,10),(8,9)
(a,b)=(7,10)のとき、c,d,eは8,9,11のいずれか。
a+8=12+3,a+9=12+4,a+11=12+6なので不適。
(a,b)=(8,9)のとき、c,d,eは7,10,11のいずれか。
a+7=12+3,a+10=12+6なので、c,d,e=11
最初に持っていた1G金貨の枚数sは、2(a+b+c+d+e)を12で割った余りなので、s=4
これがr+1と一致しないので不適。
r=3の場合、a,b,c,d,e＞4であり、(a,b)=(5,10),(6,9),(7,8)
(a,b)=(5,10)のとき、c,d,eは6,7,8,9,11のいずれか。
b+6=12+4,a+7=12,a+8=12+1,a+9=12+2,a+11=12+4なので不適。
(a,b)=(6,9)のとき、c,d,eは5,7,8,10,11のいずれか。
b+5=12+2,a+7=12+1,a+8=12+2,a+10=12+4よりc,d,e=11
よって(a,b,c,d,e)=(6,9,11,11,11)であり、s=0となり不適。
(a,b)=(7,8)のとき、c,d,eは5,6,9,10,11のいずれか。
a+5=12,a+6=12+1,a+9=12+4なのでc,d,eは10,11のみ。
よって(c,d,e)=(10,10,10),(10,10,11),(10,11,11),(11,11,11)
それぞれs=6,8,10,0となるので、どれも不適。
r=1の場合、a,b,c,d,e＞2であり、(a,b)=(3,10),(4,9),(5,8),(6,7)
A+B+85=2(A+B+C+D+E)なので、2(C+D+E)=85-(A+B)
右辺を12で割った余りを考えると0になるので、左辺も12で割り切れる。
よってc+d+eは6の倍数になる。
(a,b)=(3,10)のとき、
b+4=12+2,a+9=12,a+11=12+2よりc,d,eは5,6,7,8のみ。
15＜=c+d+e＜=24であるが、6の倍数になるのは18,24のみ。
よって(c,d,e)=(5,5,8),(5,6,7),(6,6,6),(8,8,8)
5+8=12+1,5+7=6+6=12なので、(c,d,e)=(8,8,8)のみが残る★
(a,b)=(4,9)のとき、
b+3=12,b+5=12+2,a+8=12,a+9=12+1,a+10=12+2よりc,d,eは6,7,11のみ。
6+6=12,6+7=12+1,7+7=12+2なので、
(c,d,e)=(6,11,11),(7,11,11),(11,11,11)
いずれもc+d+eが6の倍数にはならないので不適。
(a,b)=(5,8)のとき、
b+4=12,b+6=12+2,a+7=12,a+9=12+2よりc,d,eは3,10,11のみ。
c+d+eが6の倍数なので、c,d,eのうち奇数は偶数個、偶数は奇数個。
よってc,d,e内に10は1個または3個であり、3+10=12+1なので3はない。
従って、(c,d,e)=(10,10,10)★
(a,b)=(6,7)のとき、
b+5=12,8+a=12+2より、c,d,eは3,4,9,10,11のみ
4+10=12+2なので4,10が両方含まれることはない。
偶数3個の場合は、(c,d,e)=(4,4,4),(10,10,10)★
偶数1個の場合、他の2数の和を6で割った余りは2であり、
(3,11),(9,11)の組み合わせのみ。
よって、(c,d,e)=(3,4,11),(3,10,11),(4,9,11),(9,10,11)
3+10=11+1,3+11=12+2,4+9=12+1より、(c,d,e)=(9,10,11)のみが残る★
以上をまとめると、現時点で残っている組み合わせは、
(a,b,c,d,e)=(3,10,8,8,8),(5,8,10,10,10),(6,7,4,4,4),(6,7,10,10,10),(6,7,9,10,11)
の5個のみ。いずれもa+b=13となっている。
上記5個の組み合わせのうち、c=d=eのものについて考察する。
C＜=D＜=Eとしても一般性を失わない。
C,D,Eはすべて異なるので、D＞=C+12,E＞=C+24である。
A+B+85=S=2(A+B+C+D+E)なので、A+B+2(C+D+E)=85のはずであるが、
A+B+2(C+D+E)＞=a+b+2(c+c+12+c+24)=6c+85＞85となり満たさないので不適。
よって唯一残ったのは、(a,b,c,d,e)=(6,7,9,10,11)
このとき、A+B+2(C+D+E)=85と、a+b+2(c+d+e)=73の差を考えると、
(A-a)+(B-b)+2(C-c)+2(D-d)+2(E-e)=12
5つの差はすべて0以上の12の倍数なので、C-c=D-d=E-e=0であり、
A-a=12またはB-b=12のどちらか一方だけが成り立つ。
以上より、(A,B,C,D,E)=(18,7,9,10,11),(6,19,9,10,11)
どちらも購入金額は25G、最初の所持金は110Gとなり、問題の条件もすべて満たしている。
以上よりこの問題の答えは110G。