少数精鋭という感じでしたね
。ご参加ありがとうございました。
それでは解答を発表し、近日中にロックします。
問題1の答え:10G,20G,30G,40G,50G
問題2の答え:32G
[証明]
問題1:
終了時に所持金0の人がいないので、どの2人の差額も0にはならず全員異なる金額。
終了時の5人の所持金を小さい順にa,b,c,d,eとすると、
0＜b-a＜c-a＜d-a＜e-a＜eであり、それぞれがa,b,c,d,eのどれかと一致することから
0＜a＜b＜c＜d＜eに対応することは明らか。よってb-a=a,c-a=b,d-a=c,e-a=d。
b=2a,c=a+b=3a,d=a+c=4a,e=a+d=5aとなり、a+b+c+d+e=15a=30*5でありa=10。
よって、5人の所持金は10G,20G,30G,40G,50G。これは問題の条件を全て満たす。
問題2:
今回も終了時の5人の所持金は全て異なる。
それを小さい順にa,b,c,d,eとし、その中の差が50になる2数をx,yとする(x＜y)。
x≠aと仮定すると、
b-a,c-a,d-a,e-aはいずれも50にはならないので、a,b,c,d,eのどれかと一致する。
よって問題1と同じ議論が適用でき、問題2の条件は満たさない。よってx=a。
y≠eと仮定すると、
e-d＜e-c＜e-b＜e-a＜eはどれも50ではないので、a,b,c,d,eのどれかと一致する。
これがa＜b＜c＜d＜eと対応するので、e-d=a,e-c=b,e-b=c,e-a=d。
このとき、b-a=(e-c)-(e-d)=d-c,c-a=(e-b)-(e-d)=d-bであり、
他の2数の差と一致するので、b-a,c-aは50にはならないことが分かる。
b-a＜c-a＜cがa＜b＜cに対応するので、b-a=a,c-a=bであり、b=2a,c=3a。
e-b=cよりe=b+c=5a、e-a=dよりd=4a。これも矛盾する結果なのでy=e。
以上よりe-a=50であることが分かった。
b-a＜c-a＜d-a＜dでb-a,c-a,d-aは50ではないので、
a＜b＜c＜dに対応し、b-a=a,c-a=b,d-a=cであり、b=2a,c=3a,d=4a。
e-4a,e-3a,e-2aのそれぞれがa,2a,3a,4aのいずれかに一致するはずであるが、
e-4a,e-3a,e-2aは公差aの等差数列なので、(e-4a,e-3a,e-2a)=(a,2a,3a)または(2a,3a,4a)
前者の場合e=5aとなるので不適。
後者の場合、e=6aであり、e-a=5a=50なのでa=10であり、a+b+c+d+e=16a=160。
5人の所持金合計が160Gなので、最初は160/5=32Gずつ持っていたことが分かる。
これは問題の条件を全て満たしている。
それでは解答を発表し、近日中にロックします。
問題1の答え:10G,20G,30G,40G,50G
問題2の答え:32G
[証明]
問題1:
終了時に所持金0の人がいないので、どの2人の差額も0にはならず全員異なる金額。
終了時の5人の所持金を小さい順にa,b,c,d,eとすると、
0＜b-a＜c-a＜d-a＜e-a＜eであり、それぞれがa,b,c,d,eのどれかと一致することから
0＜a＜b＜c＜d＜eに対応することは明らか。よってb-a=a,c-a=b,d-a=c,e-a=d。
b=2a,c=a+b=3a,d=a+c=4a,e=a+d=5aとなり、a+b+c+d+e=15a=30*5でありa=10。
よって、5人の所持金は10G,20G,30G,40G,50G。これは問題の条件を全て満たす。
問題2:
今回も終了時の5人の所持金は全て異なる。
それを小さい順にa,b,c,d,eとし、その中の差が50になる2数をx,yとする(x＜y)。
x≠aと仮定すると、
b-a,c-a,d-a,e-aはいずれも50にはならないので、a,b,c,d,eのどれかと一致する。
よって問題1と同じ議論が適用でき、問題2の条件は満たさない。よってx=a。
y≠eと仮定すると、
e-d＜e-c＜e-b＜e-a＜eはどれも50ではないので、a,b,c,d,eのどれかと一致する。
これがa＜b＜c＜d＜eと対応するので、e-d=a,e-c=b,e-b=c,e-a=d。
このとき、b-a=(e-c)-(e-d)=d-c,c-a=(e-b)-(e-d)=d-bであり、
他の2数の差と一致するので、b-a,c-aは50にはならないことが分かる。
b-a＜c-a＜cがa＜b＜cに対応するので、b-a=a,c-a=bであり、b=2a,c=3a。
e-b=cよりe=b+c=5a、e-a=dよりd=4a。これも矛盾する結果なのでy=e。
以上よりe-a=50であることが分かった。
b-a＜c-a＜d-a＜dでb-a,c-a,d-aは50ではないので、
a＜b＜c＜dに対応し、b-a=a,c-a=b,d-a=cであり、b=2a,c=3a,d=4a。
e-4a,e-3a,e-2aのそれぞれがa,2a,3a,4aのいずれかに一致するはずであるが、
e-4a,e-3a,e-2aは公差aの等差数列なので、(e-4a,e-3a,e-2a)=(a,2a,3a)または(2a,3a,4a)
前者の場合e=5aとなるので不適。
後者の場合、e=6aであり、e-a=5a=50なのでa=10であり、a+b+c+d+e=16a=160。
5人の所持金合計が160Gなので、最初は160/5=32Gずつ持っていたことが分かる。
これは問題の条件を全て満たしている。