EON
＞仕掛け人は特定の檻について答えるわけではない
＞「中が×である」という事象と「仕掛け人が中が×と言う」事象の確率がそもそも違う」
選び替えを判断する時点での各事象の確率は、
「仕掛け人が中が×と言う確率」×「当たりと初期選択位置がその組み合わせである確率」である。
具体的には左を選んだとして、当たりの位置３通りを以下のように場合分け
<tt>
■左が正解だったとき、
○×× →1/2*1/3
○×× →1/2*1/3
これはどちらも変えたら損で、確率は1/3
■中央が正解だったとき、
×○× →0*1/3
×○× →1*1/3
これは変えたら得で、確率1/3」
■右が正解だったとき、
××○ →1*1/3
××○ →0*1/3</tt>
これも変えたら得で、確率1/3」
ともかく一文では表現するのが難しい問題ですね。
騙された、というよりは簡単に見せかけられた問題なのに
本質を理解するために、こんなに文章を連ねなければならないとは。
「中が×である」という事象と「仕掛け人が中が×と言う」事象の確率がそもそも違うのですね。「中が×」または「下が×」と言うかがそもそも確率的な現象であって、○××の場合はそれぞれ１／２、×○×の場合は「中が×」の確率は０で「下が×」の確率が１、××○の場合は「中が×」の確率が１で「下が×」の確率が０です。
①仕掛け人が「中が×と言う」または「下が×と言う」ことがあって、檻を変えないときに○を選ぶ確率。○××で、かつ、「中が×と言う」のが１／３＊１／２＝１／６。同様に「下が×」と言っても同じ１／６です。そこで求める確率は１／６＋１／６＝１／３です。
②檻を変えたときに○になる確率。まず、仕掛け人が「中が×」と言って、下に変えたときに○を選ぶ確率を計算します。××○でそう言う場合ですから、１／３＊１＝１／３です。仕掛け人が「下が×」と言って、中に変えたときに○を選ぶ確率も、×○×の場合で、計算は同じなので１／３です。すると檻を変えたときに○になる確率は１／３＋１／３で２／３です。
私のはじめの解答はnorさんが言うように、「中が×であるという事象が起こった場合」であり、こうなるのは２／３です。しかし、この問題は「仕掛け人が、中が×（または下が×）と言う事象が起こった場合」であり、こうなるのは、中が×（または下が×）と言う場合１／２です。ここに間違いの本質があったのだと思います。