ｸｲｽﾞ大陸

まず、出来る三角形は四種類
Ａ三つの頂点が八角形の頂点
Ｂ二つの頂点が八角形の頂点で、残りは対角線の交点
Ｃ一つの頂点が八角形の頂点で、残りは対角線の交点
Ｄ三つの頂点が対角線の交点

Ａは８種類の中から３つを選ぶ組み合わせなので
８Ｃ_３＝５６
Ａの三角形は５６個

Ｂは、
八角形の頂点のうち４つを選び、
それを結んで出来る四角形とその四角形の対角線を引きます
するとＢの三角形が４種類出来ることになります
８種類の中から４種類を選ぶので
８Ｃ_４＝７０
７０通りの全てで三角形が４つ出来るので４倍して２８０

Ｃは、８角形の頂点を５個選び、
それをむすんで出来る五角形とその対角線を引きます
するとＣの三角形が５種類出来ます（星の先端部分です）
８種類の中から５個選び、
８Ｃ_５＝５６
５種類出来るので５倍　２８０

Ｄは８角形の中から６つを選び、
それらを結んで出来る六角形を引き、
ちょうど反対側にある角との対角線を引く（合計３本）と
Ｄの三角形は真ん中に一個だけ出来る。
でも、３本の線が１点で交わってしまえば三角形が出来ない
真ん中の点で交わる３本の対角線の組み合わせは、
残りの４本から３本選んで、４Ｃ_３＝４通り。
周りの８点で交わる三本の対角線は、それぞれ一組ずつあるから、
三角形が出来ない３本の対角線の組み合わせは、４＋８＝１２通り。
なのでＤは、８Ｃ６＝２８から１２をひいて１６個。

Ａ〜Ｄをあわせて、５６＋２８０＋２８０＋１６＝６３２個

でいかが