やはり「ペロンの木」だったのですか。
ところで「ペロンの木」の場合、面積は本当に”0”に収束するのですか？
いくら分割数を増やしても重ねあわさない時の合計は元の三角形と同じ面積のはずです。
しかも三角形の斜辺は最大60°違うはずですから完全に重ね合わせる事は不可能
と思います。（不可能なら0には収束しない）
ここで一辺の長さａの正三角形の頂点から底辺を2等分点に線を引き二つの三角形に
して左はa/4右に右はa/4左に同一底辺になるように重ねます。
（この図形の面積は最初の3/4、この時最初の三角形とは高さ1/2で交差しています）
これを何回か繰り返しますと
分割回数 面積
０ １
１ 3/4 (2^1+1)/2^(1+1)
２ 5/8 (2^2+1)/2^(2+1)
３ 9/16 (2^3+1)/2^(3+1)
４ 17/32 (2^4+1)/2^(4+1)
５ 33/64 (2^5+1)/2^(5+1)
・・・
ｎ (2^n+1)/2^(n+1) →1/2に収束
になるみたいなのです。
これは重なり合った各三角形の重なりの最後が1/2の高さの位置に出来、そこでの
重なりの幅が元の三角形の1/2の高さの長さと同じ（1/2a）になる為、これより上の
面積は元の1/4、下の面積は底辺上で一点になった時の面積に収束し（1/4)最終的には
1/2に収束するみたいなのです。（詳細な説明は省きます。7回まで作図確認済み）
同様に底辺から高さｂ(b<=a)の所で重ね合わせると上の部分については一辺（a-b)の
三角形について底辺を重ねた場合と同じで下については高さｂの三角形に収束する
みたいです。これを解きますと底辺から高さ１／３のときに面積も１／３となり
最小値みたいなのです。（詳細な説明は省きます。５回まで作図済み）
きっともっとうまく重ね合わせる方法があるのでしょう
私には限界みたいなのでいい方法があったら教えてください。
尚、180°回転させるためにはこれが３つ（１つで60°しか回転させれない為）必要で
これも重ね合わせる事により（今の所下から60％の所）面積も60％（60/√3、約34.64
、確かに
>>18 の卵王子さんの方法 12.5π、約39.27よりは小さい)になる所までは
検討できたのですが・・・
あと、この方法では軸方向以外の平行移動がありその際に”掃く面積”の問題もあります。
（
>>20 で一寸書いておいたのですがルールの問題も有り）
平行移動での面積を入れると「ペロンの木」方式はＮＧになりますので最小ではない
かも知れませんがやはり 卵王子さんの方法が一番エレガントではないでしょうか？
ところで「ペロンの木」の場合、面積は本当に”0”に収束するのですか？
いくら分割数を増やしても重ねあわさない時の合計は元の三角形と同じ面積のはずです。
しかも三角形の斜辺は最大60°違うはずですから完全に重ね合わせる事は不可能
と思います。（不可能なら0には収束しない）
ここで一辺の長さａの正三角形の頂点から底辺を2等分点に線を引き二つの三角形に
して左はa/4右に右はa/4左に同一底辺になるように重ねます。
（この図形の面積は最初の3/4、この時最初の三角形とは高さ1/2で交差しています）
これを何回か繰り返しますと
分割回数 面積
０ １
１ 3/4 (2^1+1)/2^(1+1)
２ 5/8 (2^2+1)/2^(2+1)
３ 9/16 (2^3+1)/2^(3+1)
４ 17/32 (2^4+1)/2^(4+1)
５ 33/64 (2^5+1)/2^(5+1)
・・・
ｎ (2^n+1)/2^(n+1) →1/2に収束
になるみたいなのです。
これは重なり合った各三角形の重なりの最後が1/2の高さの位置に出来、そこでの
重なりの幅が元の三角形の1/2の高さの長さと同じ（1/2a）になる為、これより上の
面積は元の1/4、下の面積は底辺上で一点になった時の面積に収束し（1/4)最終的には
1/2に収束するみたいなのです。（詳細な説明は省きます。7回まで作図確認済み）
同様に底辺から高さｂ(b<=a)の所で重ね合わせると上の部分については一辺（a-b)の
三角形について底辺を重ねた場合と同じで下については高さｂの三角形に収束する
みたいです。これを解きますと底辺から高さ１／３のときに面積も１／３となり
最小値みたいなのです。（詳細な説明は省きます。５回まで作図済み）
きっともっとうまく重ね合わせる方法があるのでしょう
私には限界みたいなのでいい方法があったら教えてください。
尚、180°回転させるためにはこれが３つ（１つで60°しか回転させれない為）必要で
これも重ね合わせる事により（今の所下から60％の所）面積も60％（60/√3、約34.64
、確かに>>18 の卵王子さんの方法 12.5π、約39.27よりは小さい)になる所までは
検討できたのですが・・・
あと、この方法では軸方向以外の平行移動がありその際に”掃く面積”の問題もあります。
（>>20 で一寸書いておいたのですがルールの問題も有り）
平行移動での面積を入れると「ペロンの木」方式はＮＧになりますので最小ではない
かも知れませんがやはり 卵王子さんの方法が一番エレガントではないでしょうか？