うーん･･･。基本に立ち返ってみましょうか。
確率の計算の仕方は，（そうなる場合の数）÷（全体の場合の数）ですね。
「さいころを６回ふることにする。各々について１が出る確率は1/6である」は，この考えに沿っているので正しいです。
「6回のうち少なくとも１回１の目の出る確率は(1/6)*6=1である」問題はここですね。
「さいころを６回ふることにする。各々について１が出る確率は1/6である」で言う確率1/6を計算したときの「場合の数」は，他の目について言及してないので，「１回目と２回目のどちらも１の場合」というのが「１回目が１の確率」「２回目が１の確率」のどちらにもカウントされています。
しかし「6回のうち少なくとも１回１の目の出る確率」を計算するときには「１回目と２回目のどちらも１の場合」というのは「ひとつの」場合に過ぎません。
「(1/6)*6=1である」という計算は，この「１回目と２回目のどちらも１の場合」という「ひとつの」場合をダブルカウントしてしまっていることになります。
ここがA君の間違えているポイントです。
･･･明らかに「簡潔」ではないと思いますが
確率の計算の仕方は，（そうなる場合の数）÷（全体の場合の数）ですね。
「さいころを６回ふることにする。各々について１が出る確率は1/6である」は，この考えに沿っているので正しいです。
「6回のうち少なくとも１回１の目の出る確率は(1/6)*6=1である」問題はここですね。
「さいころを６回ふることにする。各々について１が出る確率は1/6である」で言う確率1/6を計算したときの「場合の数」は，他の目について言及してないので，「１回目と２回目のどちらも１の場合」というのが「１回目が１の確率」「２回目が１の確率」のどちらにもカウントされています。
しかし「6回のうち少なくとも１回１の目の出る確率」を計算するときには「１回目と２回目のどちらも１の場合」というのは「ひとつの」場合に過ぎません。
「(1/6)*6=1である」という計算は，この「１回目と２回目のどちらも１の場合」という「ひとつの」場合をダブルカウントしてしまっていることになります。
ここがA君の間違えているポイントです。
･･･明らかに「簡潔」ではないと思いますが