OK
正解です。
では正解者が出たのでそろそろ簡単な解説を、（１．だけですが）
場合わけの仕方は上で述べましたのでそのあとどうするかです。
線分の両端をＰ，Ｑとし、
(i)のときはＡＰ＝x、ＡＱ＝y
(ii)のときはＢＰ＝x,ＢＱ＝y
などとおいて、ＰＱをx,y,aであらわします。三角形ＡＢＣに余弦定理を使うことでcosAなどは求まるので問題ないでしょう。
あとは面積の条件からＰＱを最小にするx,yを特定します。
本当はこの後が本問の勝負どころなんですがここまでで答えは出るので解説はこの辺にします。
皆さんお付き合いいただきありがとうございました。
黄昏の錬金術師
> あとS1とかS２はちゃんとaで表してください（表せるかどうかはしりませんが）。
表現方法もいろいろありますし、
長く汚い上、まあ意図は伝わるだろうと考え省略しちゃいました。
S1 は sin(acos(a / 2)) * a / 2
S2 は acosで鋭角を出して、そこから鈍角を求める。
その鈍角を基に、cosで底辺、sinで高さを求めるという具合。