教科書的な説明ですが
n
4-(n-1)
4=n
4-(n
4-4n
3+6n
2-4n+1)
=4n
3-6n
2+4n-1
(n-1)
4-(n-2)
4=......
.......
2
4-1
4=4×2
3-6×2
2+4×2-1
1
4-0
4=4×1
3-6×1
2+4×1-1
両辺をそれぞれ合計しますと
n
4=4Σk
3-6Σk
2+4Σk-Σ1 となります。
4Σk
3=n
4+6Σk
2-4Σk+Σ1
これまで判っている計算式から
4Σk
3=n
4+6×(1/6)n(n+1)(2n+1)-4×(1/2)n(n+1)+n
=n
4+2n
3+n
2 =｛n(n+1)｝
2ゆえにΣk
3=｛n(n+1)/2｝
2Σはk=1からk=nまでの和です。記述がめんどうなので省略しました。
n4-(n-1)4=n4-(n4-4n3+6n2-4n+1)
=4n3-6n2+4n-1
(n-1)4-(n-2)4=......
.......
24-14=4×23-6×22+4×2-1
14-04=4×13-6×12+4×1-1
両辺をそれぞれ合計しますと
n4=4Σk3-6Σk2+4Σk-Σ1 となります。
4Σk3=n4+6Σk2-4Σk+Σ1
これまで判っている計算式から
4Σk3=n4+6×(1/6)n(n+1)(2n+1)-4×(1/2)n(n+1)+n
=n4+2n3+n2
=｛n(n+1)｝2
ゆえにΣk3=｛n(n+1)/2｝2
Σはk=1からk=nまでの和です。記述がめんどうなので省略しました。