ｸｲｽﾞ大陸

まず
n-1
Σ k とは、kを1からn-1まで変化させて足していく、つまり
k=1

1 + 2 + 3 + ・・・ + (n-3) + (n-2) + (n-1)　という意味です。

これの計算方法として、

{1 + (n-1)} + {2 + (n-2)} + {3 + (n-3)} + ・・・

と考えます。

1)nが奇数のとき
上の式の{}は (n-1)/2個 あることがわかります。
　　 例えば　n=7 のとき
1 + 2 + ・・・ + (n-2) + (n-1)
　 =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
　 ={1+6} + {2+5} + {3+4}
　 　より、{}は (7-1)/2=3個ある。

{}の中はすべて n になることがわかるので

n-1
Σ k = n・(n-1)/2
k-1

2)nが偶数のとき

{1 + (n-1)} + {2 + (n-2)} + {3 + (n-3)} + ・・・

のように考えていくと n/2 の数があまります。
　　例えば n=6 のとき
　　 1 + 2 + ・・・ + (n-2) + (n-1)
　 =1 + 2 + 3 + 4 + 5
　 =(1+5) + (2+4) + 3
となり 3 だけ組が出来ずにあまります。

よって n/2 だけ別に考えると

{1 + (n-1)} + {2 + (n-2)} + {3 + (n-3)} + ・・・ + (n/2)

となります。この式の{}は (n-2)/2個 あるので

n-1
Σ k = n・(n-2)/2 + n/2 = n(n-1)/2
k-1

となり、結局 n が偶数のときも奇数のときも

n-1
Σ k = n(n-1)/2
k-1

となることがわかります。

だから
n-1
2 Σ k
k=1

=2・(1/2)(n-1)n

となります。