ｸｲｽﾞ大陸

　追加で出された質問に関してですが、これはかなり難易度の高い問題です。

　y=x^xとしてx→0のときを考えるなら簡単でy→1に収束します。ちょっとした参考書を見れば載っています。

　しかし、考えなければならないのは

　x→0で　f→0、g→0なる関数を用意して

　y=g^fでのx→0の極限を考えなければなりません。

　まず両辺の対数をとり、log(y)を主役にします。すると

　log(y)=f*log(g)となります。さらにこれを

　log(y)=log(g)/(1/f)とみて、x→0においてロピタルの定理を使うと。

　log(y)→-(f/g)*(g'/f')*fとなります。

　結局この極限を求める問題に帰着します。ここでf/gが0以外の定数に収束するならg'/f'はその逆数に収束する（ロピタルの定理より）ので最後のf→0がきいてlog(y)→0となりyが1に収束することがわかります。

　しかし、f/gが発散もしくは0に収束するときがややこしいのです。(f/g)*(g'/f')が元の条件下で常に定数に収束すると言う証明が必要となります。ここがこの問題の難易度が高いと言ったところです。ここだけはロピタルで一発で求めると言うことはできません。感覚的には成り立ち、常にy→1となりそうなのですが。

　ちゃんとした証明を与えようとするなら、大学で数学をきっちり学ぶ必要があるかと思われます。

　残念ながらここまでの話で精一杯です。詳しい方のお話があればうれしいのですが