ｸｲｽﾞ大陸

Bonnさんと同じ答えになってしまいましたが、tan(90-θ)（私の場合はtan(α)）が少し違うみたいです。

∠ＢＰＡ＝α、∠ＯＰＢ＝β
とすると
tan(β) = 1/a
tan(α+β) = 2/a
ここで、tan(α+β)をtan(α)とaで表すと
2/a = tan(α+β)
= (tan(α)+tan(β))/(1-tan(α)tan(β))
= (tan(α)+1/a)/(1-tan(α)/a)
上式をtan(α)についてまとめると
tan(α) = a/(a^2 + 2)
となります。
このまま極値を求めると面倒なので、
tan(90-α) = a + 2/a
とします。こうするとαが大きいときtan(90-α)の値は小さくなるので、tan(90-α)の最小値を見つけます。

ここで極値を求めるためにtan(90-α)を微分します。
tan'(90-α) = 1 - 2/a^2
となり、a>0とすると√2かが極値となります。
さらに、√2が極大値か極小値であるか調べるために
更に微分をします。
tan''(90-α) = 6/a^3
a = √2 を代入すると正の数になるので、極少値ということが分かり、∠ＡＰＢを最大するようなaは√2であることが分かります。