ｸｲｽﾞ大陸

なんとなく考えると、ＰがＯＡに対して無限遠方にあるときに∠ＡＰＢは最大になるような気がしますが、ちゃんとやってみると違いますね。
以下、あってるかどうか知らんけど。。。

文字を設定します。
∠ＡＰＢ＝θ、∠ＯＡＰ＝α、∠ＯＰＢ＝β
まず、
tan(α)=a/2・・・�@
tan(β)=1/a・・・�A
α = 90-β-θ・・・�B
です。
�@から
a = 2tan(α）
これと�Bから
a = 2tan(90-β-θ) = 2tan((90-θ)-β)
tanの加法定理から
a/2 = ( tan(90-θ)-tanβ ) / ( 1-tan(90-θ)tanβ )
を得、�Aを適用すると
a/2 = ( a*tan(90-θ)-1 ) / ( a-tan(90-θ) )
これを整理すると
tan(90-θ) = (a^2 + 2 ) / (3a)
となります。
θが最大値となるとき、tan(90-θ)は最小値を取るから、右辺=f(a)を最小にするaが求めるものとなります。
f'(a) = ( a^2 - 2 ) / ( 3*a^2 )
a>0としてよいから、
f'(a) = 0 となる a は √2。
答えは √2。

どう？