生意気ついでに答えを作ってみました。
a＞b＞c≧1 とすると、
3a＞a+b+c ⇔ 2a＞b+c ⇔ 2＞(b+c)/a…①
また、abc＝12(a+b+c) ⇔ bc＝12(b+c)/a+12…②
①，②より、
bc＜36
36＞bc＞c^2 ∴1≦c＜6
｡) c＝1のとき ab＝12(a+b)+12 とでき、因数分解して、 (a-12)(b-12)＝156
156＝2^2*3*13より、このときの(a,b)の組は、
(3*2*2)/2＝6 ∴６通り
｢)c＝2のとき ab＝6(a+b)+12 ⇔ (a-6)(b-6)＝48
48＝2^4*3より、このときの(a,b)の組は、
(5*2)/2＝5 ∴５通り
｣)c＝3のとき ab＝4(a+b)+12 ⇔ (a-4)(b-4)＝28
28＝2^2*7より、このときの(a,b)の組は、
(3*2)/2＝3 ∴３通り
､)c＝4のとき ab＝3(a+b)+12 ⇔ (a-3)(b-3)＝21
21＝3*7より、このときの(a,b)の組は、
(2*2)/2＝2 ∴２通り
･)c＝5のとき
5ab＝12(a+b)+60 ⇔ 5b＜24+60/a ⇔ 5b＜32 (a≧7) ⇔ b＝6 ⇔ 30a＝12a+132 ⇔ a＝11/3 より不適
｡)～･)より ６+５+３+２=１６通り となる。
c＝5のときの扱いがちょっと怪しいかもしれません…
a＞b＞c≧1 とすると、
3a＞a+b+c ⇔ 2a＞b+c ⇔ 2＞(b+c)/a…①
また、abc＝12(a+b+c) ⇔ bc＝12(b+c)/a+12…②
①，②より、
bc＜36
36＞bc＞c^2 ∴1≦c＜6
｡) c＝1のとき ab＝12(a+b)+12 とでき、因数分解して、 (a-12)(b-12)＝156
156＝2^2*3*13より、このときの(a,b)の組は、
(3*2*2)/2＝6 ∴６通り
｢)c＝2のとき ab＝6(a+b)+12 ⇔ (a-6)(b-6)＝48
48＝2^4*3より、このときの(a,b)の組は、
(5*2)/2＝5 ∴５通り
｣)c＝3のとき ab＝4(a+b)+12 ⇔ (a-4)(b-4)＝28
28＝2^2*7より、このときの(a,b)の組は、
(3*2)/2＝3 ∴３通り
､)c＝4のとき ab＝3(a+b)+12 ⇔ (a-3)(b-3)＝21
21＝3*7より、このときの(a,b)の組は、
(2*2)/2＝2 ∴２通り
･)c＝5のとき
5ab＝12(a+b)+60 ⇔ 5b＜24+60/a ⇔ 5b＜32 (a≧7) ⇔ b＝6 ⇔ 30a＝12a+132 ⇔ a＝11/3 より不適
｡)～･)より ６+５+３+２=１６通り となる。
c＝5のときの扱いがちょっと怪しいかもしれません…