ｸｲｽﾞ大陸

正二十面体の解答が終わった所でお願いするのでそれまで待ってください、武勇伝さん。

・正五角形の対角線の長さ
問題を解く上で必要になりますので、まずはこれから。
黄金比になることを知っている人であれば、一辺の長さが１の正五角形の対角線の長さは(1+√5)/2だとわかるはずです。
[証明]
一辺の長さが１である正五角形ＡＢＣＤＥについて、ＡＣとＢＥの交点をＰと置き、ＢＥの長さをxとする。
∠ＢＡＥ＝１０８°より∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ＝３６°(もちろん三角形ＡＢＥは二等辺三角形です)
また、三角形ＡＢＥ≡三角形ＢＣＡより∠ＢＡＣ＝３６°
ゆえに二角が等しいので三角形ＡＢＥ∽三角形ＰＡＢ
また三角形ＡＰＥはＡＥ＝ＰＥの二等辺三角形であるから(ただの角度の計算です)ＰＥ＝１
従って１：ｘ＝(ｘ−１)：１
ｘ(ｘ−１)＝１
ｘ＾２−ｘ−１＝０
ｘ＞０より
ｘ＝(１+√５)/２
[証明終]