ｸｲｽﾞ大陸

√x=y、xは自然数とします。
x=y^2、y>0となります。

yが有理数の場合
y=b/a (a、bは自然数、互いに素)と表せる。
x=y^2=b^2/a^2となる。
xが自然数となるのは、a=1のときだけである。
すなわち、yは自然数である。

x=y^2、yは自然数として証明します。
3で割ると2余るということは、x=3n+2(nは0以上の整数)と表せるということです。

y=1 の時、x=1 これは3n+2では表せません。
y=2 の時、x=4 これも3n+2では表せません。

3以上のyは3m、3m+1、3m+2(mは自然数)のどれかになります。
y=3m の時、x=9m^2=3×(3m^2)
　(3m^2)は自然数なので、xは3n+2では表せません。
y=3m+1 の時、x=(3m+1)^2=9m^2+6m+1=3×(3m^2+2m)+1
　(3m^2+2m)は自然数なので、xは3n+2では表せません。
y=3m+2 の時、x=(3m+2)^2=9m^2+12m+4=3×(3m^2+4m+1)+1
　(3m^2+4m+1)は自然数なので、xは3n+2では表せません。

以上より、y(=√x)が自然数の時、xは3で割って2余る数にはなりません。
対偶をとって、
xが3で割って2余る数の時、y(=√x)は自然数ではない。
したがってy(=√x)は有理数ではない。