ｸｲｽﾞ大陸

>t.さんへ
内積の式が間違っていますよ。
（内積）A・X＝|A||X|sinθ
になっていますが、ここは正しくはcosθです。
後はだいたい同じです。

cos^2θ + cos^2φ + cos^2Φ = 1 を条件とした場合の、
1/cosθ + 1/cosφ + 1/cosΦ の最小値を求めれば良いわけです。そういう意味で、
『x^2 + y^2 + z^2 = 1　の時の、
1/x + 1/y + 1/z　の最小値問題』と言っただけです。球の性質を使う必要は無くあんまり意味はありません。

(0 < θ, φ, Φ < π)なので、
当然(0 < 1/cosθ, 1/cosφ, 1/cosΦ < 1) です。

よって、以下の（相加平均）≧（相乗平均）
(x + y + z) / 3 ≧ 3√(xyz)　←立方根です
が成り立ちます。

ちなみに等号成立は x = y = z の時です。

つまり、 1/x + 1/y + 1/z は、x = y = zの時に最小になり、これより小さくはならないので、
条件式から最小を与える x = y = z = 1/√3 が求まり、
答えは3√3πとなります。