ｸｲｽﾞ大陸

△ABCにおいて、∠BAC＝π/2、∠ABC＝θ、∠ACB＝π/2-θ、AB＝y、BC＝2x(斜辺)、CA＝zとする。
0＜θ≦π/4とする。斜辺の中点Mとする。条件はy+z＝1。
この時AM＝BM＝CM＝xとなっている。また∠AMC＝2θとなっている。
これは△ABCの外接円を書けば、BCがこの円の直径にあたり、Mが円の中心にあたることよりわかる。
△MABと△MACについて余弦定理より、
y^2＝x^2+x^2-2x^2cos(π-2θ)
　 ＝2x^2(1+cos2θ)
　 ＝4x^2cosθ^2　(∵倍角の公式)　
∴y＝2xcosθ
同様に
z^2＝x^2+x^2-2x^2cos2θ
　 ＝2x^2(1-cos2θ)
　 ＝4x^2sinθ^2
∴z＝2xsinθ
y+z＝1に代入
∴2x(cosθ+sinθ)＝1
ゆえに斜辺の長さ2xは
2x＝1/(cosθ+sinθ)と表せる。
t＝cosθ+sinθとして、これを微分して増減を調べるなりすれば、
θ→0のときt→1
θ＝π/4のときt＝√2で、1＜t≦√2なので
求める斜辺の範囲は
1/√2≦2x＜1