(3)の証明を頑張ってみます。
1^3+2^3 = 1+8 = 9 =3^2
1^3+2^3+3^3 = 1+8+27 = 36 = 6^2
1^3+2^3+3^3+4^3 = 1+8+27+64 = 100 = 10^2
より，
1^3+2^3+3^3+･･････+n^3＝(1+2+3+･･････+n)^2
ではないかと推察する。
1+2+3+･･････+n＝n(n+1)/2
より，
(1+2+3+･･････+n)^2＝n^2(n+1)^2/4
よって，
1^3+2^3+3^3+･･････+n^3＝n^2(n+1)^2/4
が示せればよい。
n=1の時，これは成り立つ。
n=kの時成り立つとすると
1^3+2^3+3^3+･･････+k^3＝k^2(k+1)^2/4
より，n=k+1の時は
1^3+2^3+3^3+･･････+k^3+(k+1)^3＝(k+1)^2(k+2)^2/4
＝(k^4+6k^3+13k^2+12k+4)/4
＝k^2(k+1)^2/4+(k+1)^3
よって，成り立つ。
これにより，1^3+2^3+3^3+･･････+n^3＝n^2(n+1)^2/4が示された。
つまり，
1^3+2^3+3^3+･･････+n^3＝(1+2+3+･･････+n)^2
は必ず成り立つ（必然である）。
って感じ？ あってる？
1^3+2^3 = 1+8 = 9 =3^2
1^3+2^3+3^3 = 1+8+27 = 36 = 6^2
1^3+2^3+3^3+4^3 = 1+8+27+64 = 100 = 10^2
より，
1^3+2^3+3^3+･･････+n^3＝(1+2+3+･･････+n)^2
ではないかと推察する。
1+2+3+･･････+n＝n(n+1)/2
より，
(1+2+3+･･････+n)^2＝n^2(n+1)^2/4
よって，
1^3+2^3+3^3+･･････+n^3＝n^2(n+1)^2/4
が示せればよい。
n=1の時，これは成り立つ。
n=kの時成り立つとすると
1^3+2^3+3^3+･･････+k^3＝k^2(k+1)^2/4
より，n=k+1の時は
1^3+2^3+3^3+･･････+k^3+(k+1)^3＝(k+1)^2(k+2)^2/4
＝(k^4+6k^3+13k^2+12k+4)/4
＝k^2(k+1)^2/4+(k+1)^3
よって，成り立つ。
これにより，1^3+2^3+3^3+･･････+n^3＝n^2(n+1)^2/4が示された。
つまり，
1^3+2^3+3^3+･･････+n^3＝(1+2+3+･･････+n)^2
は必ず成り立つ（必然である）。
って感じ？ あってる？