改めて
>>25の答えを書いておきます。
分銅の重さを整数で考えた場合、総和が最小になるのは、
1,4,6,7,8
の組み合わせです。このとき合計26。
これがノーマルな正解です。
分銅の重さが整数でなくてもいいと考えると総和を減らすことが可能です。
この場合、総和が最小になるのは、
0.5 , 1.5 , 2.5 , 6.5 , 12.5
の組み合わせです。このとき合計23.5。
これがアブノーマルな正解です。
この答えが最小であることをざっくり証明します。
5個の分銅の中から2個を選ぶやり方は10通り。
それぞれについて和と差が計れますので、計り方は20種類。
計れる重さが1以上15以下の整数にならないものは無効とします。
また、計れる重さが重複している場合、1つだけを有効とし、他の計り方は無効とします。
有効な計り方は15種類、無効な計り方は5種類です。
5個の分銅のなかに同じ重さのものがあった場合、無効な計り方が6個以上となります。
よって、5個の分銅はすべて異なる重さです。
重さが整数の分銅と整数でない分銅とが混在している場合、
整数+非整数は非整数ですので、無効な計り方ができてしまいます。
どの場合でも無効が6個以上になりますので混在は許されません。
非整数の分銅があれば、すべてが非整数です。
非整数の分銅で1から15まで計れる組み合わせがあれば、
それらの分銅の小数部をすべて0.5に変えた組み合わせでも
1から15まで計れます。
3.1-1.1、2.3+4.7のように結果が整数になる和や差は、
3.5-1.5、2.5+4.5のように0.5に置き換えても結果が同じになるからです。
そこで、すべての分銅の小数部は0.5として考えます。
0.5を扱うのはちょっと面倒なので2倍して考えることにします。
小数部が0.5の分銅5個から2個を使って1から15まで1刻みに計れる
という条件の代わりに
奇数整数の分銅5個から2個を使って2以上30以下のすべての偶数が計れる
という条件で考えます。
こっちの条件で最小になる答えを2で割れば、元の条件で最小になる答えになります。
5個の分銅の重さをa,b,c,d,eとします。
1.和が30になる組み合わせがない場合
差が30になる組み合わせが存在しますので、分銅の1つは31以上。
e≧31とすると、a+b+c+d≧1+3+5+7=16なので総和≧16+31=47
総和が47になるのは、1,3,5,7,31のときのみです。
この場合22が計れませんので不適。
総和は48以上です。
2.和が30になる組み合わせがある場合
総和が47以下のものを探します。
d+e=30、d<eとします。
総和≦47の場合は、a+b+c=総和-30≦17
a,b,cの中の2個で18以上の重さを計ることはできません。
a,b,cは異なる奇数なので2個の和は4以上であり、残りの1個は13以下です。
a,b,c≦13なので、
d+13より大きい重さはdとa,b,cのどれか2個では計れず、必ずeを使うことになります。
18以上28以下で、d+13より大きくe-dと異なる重さは、eとa,b,cのうちの1個で計ります。
2-1.(d,e)=(1,29)の場合
d+13=14,e-d=28なので26,24,22,20,18を計るのには29が使用されます。
それぞれ、もう一つの分銅の重さは3,5,7,9,11となりますので、5個を超えてしまい不適です。
2.2.(d,e)=(3,27)の場合
d+13=16,e-d=24なので、28,26,22,20,18を計るのには27が使用されます。
それぞれのもう一つの分銅は1,1,5,7,9となり、これも不適です。
2-3.(d,e)=(5,25)の場合
d+13=18,e-d=20なので28,26,24,22を計るのには25が使用されます。
それぞれのもう一つの分銅は3,1,1,3
18を計るには5+13または25-7とするしかないので、もう一つの分銅は13または7。
分銅が1,3,5,13,25の場合は2以上30以下のすべての偶数が計れます。
このとき合計は47。
分銅が1,3,5,7,25の場合は16が計れませんので不適です。
2-4.(d,e)=(7,23)の場合
d+13=20なので、28,26,24,22を計るのには23が使用されます。
それぞれのもう一つの分銅は5,3,1,1
分銅が1,3,5,7,23となりますが、14が計れませんので不適です。
2-5.(d,e)=(9,21)の場合
d+13=22なので、28,26.24を計るのには21が使用されます。
それぞれのもう一つの分銅は7,5,3
分銅が3,5,7,9,21と決まりますが、22が計れませんので不適。
2-6.(d,e)=(11,19)の場合
d+13=24なので28,26を計るのには19が使用されます。
それぞれのもう一つの分銅は9,7
24を計る場合は、11+13または19+5しかないので、もう一つの分銅は15または5
どちらの場合もa+b+cが17を超えるので不適です。
2-7.(d,e)=(13,17)の場合
d=13なのでa,b,c≦11です。
d+11=24なので、28,26を計るのには17が使用されます。
それぞれのもう一つの分銅は11,9
a+b+cが17を超えるので不適です。
総和が47以下になる組み合わせは一つしかありませんでしたので、
そのときが最小です。
分銅は1,3,5,13,25で合計47。
よって、元の問題の答えは、
5個の分銅の重さが0.5 , 1.5 , 2.5 , 6.5 ,12.5 (合計23.5)
ノーマルの場合も似たような感じで証明できます。
小数部が0.5以外の答えが存在しないことも示します。
無効になる計り方5個は、
重複が4個。
1.5-0.5=2.5-1.5=1
0.5+1.5=2.5-0.5=2
6.5-2.5=1.5+2.5=4
12.5-6.5=6.5-0.5=6
範囲外が1個。
12.5+6.5=19
これ以外の計り方はすべて有効です。
例えば、12.5-0.5=12、12.5+0.5=13はどちらも有効です。
小数部が0.5でない解があった場合も整数部は変わりませんので、
二つの分銅の重さの小数部をx,yとすると(0＜x,y＜1)、
12+x+(0+y)=13
12+x-(0+y)=12
これを解くとx=y=0.5ですので、整数部が12と0の分銅の小数部は0.5と確定します。
6.5-1.5=5、6.5+1.5=8も有効ですので、整数部が6と1についても0.5と確定します。
12.5-2.5=10、12.5+2.5=15も有効ですので、整数部2についても0.5と確定します。
よって、あの答えは唯一無二です。
分銅の重さを整数で考えた場合、総和が最小になるのは、
1,4,6,7,8
の組み合わせです。このとき合計26。
これがノーマルな正解です。
分銅の重さが整数でなくてもいいと考えると総和を減らすことが可能です。
この場合、総和が最小になるのは、
0.5 , 1.5 , 2.5 , 6.5 , 12.5
の組み合わせです。このとき合計23.5。
これがアブノーマルな正解です。
この答えが最小であることをざっくり証明します。
5個の分銅の中から2個を選ぶやり方は10通り。
それぞれについて和と差が計れますので、計り方は20種類。
計れる重さが1以上15以下の整数にならないものは無効とします。
また、計れる重さが重複している場合、1つだけを有効とし、他の計り方は無効とします。
有効な計り方は15種類、無効な計り方は5種類です。
5個の分銅のなかに同じ重さのものがあった場合、無効な計り方が6個以上となります。
よって、5個の分銅はすべて異なる重さです。
重さが整数の分銅と整数でない分銅とが混在している場合、
整数+非整数は非整数ですので、無効な計り方ができてしまいます。
どの場合でも無効が6個以上になりますので混在は許されません。
非整数の分銅があれば、すべてが非整数です。
非整数の分銅で1から15まで計れる組み合わせがあれば、
それらの分銅の小数部をすべて0.5に変えた組み合わせでも
1から15まで計れます。
3.1-1.1、2.3+4.7のように結果が整数になる和や差は、
3.5-1.5、2.5+4.5のように0.5に置き換えても結果が同じになるからです。
そこで、すべての分銅の小数部は0.5として考えます。
0.5を扱うのはちょっと面倒なので2倍して考えることにします。
小数部が0.5の分銅5個から2個を使って1から15まで1刻みに計れる
という条件の代わりに
奇数整数の分銅5個から2個を使って2以上30以下のすべての偶数が計れる
という条件で考えます。
こっちの条件で最小になる答えを2で割れば、元の条件で最小になる答えになります。
5個の分銅の重さをa,b,c,d,eとします。
1.和が30になる組み合わせがない場合
差が30になる組み合わせが存在しますので、分銅の1つは31以上。
e≧31とすると、a+b+c+d≧1+3+5+7=16なので総和≧16+31=47
総和が47になるのは、1,3,5,7,31のときのみです。
この場合22が計れませんので不適。
総和は48以上です。
2.和が30になる組み合わせがある場合
総和が47以下のものを探します。
d+e=30、d<eとします。
総和≦47の場合は、a+b+c=総和-30≦17
a,b,cの中の2個で18以上の重さを計ることはできません。
a,b,cは異なる奇数なので2個の和は4以上であり、残りの1個は13以下です。
a,b,c≦13なので、
d+13より大きい重さはdとa,b,cのどれか2個では計れず、必ずeを使うことになります。
18以上28以下で、d+13より大きくe-dと異なる重さは、eとa,b,cのうちの1個で計ります。
2-1.(d,e)=(1,29)の場合
d+13=14,e-d=28なので26,24,22,20,18を計るのには29が使用されます。
それぞれ、もう一つの分銅の重さは3,5,7,9,11となりますので、5個を超えてしまい不適です。
2.2.(d,e)=(3,27)の場合
d+13=16,e-d=24なので、28,26,22,20,18を計るのには27が使用されます。
それぞれのもう一つの分銅は1,1,5,7,9となり、これも不適です。
2-3.(d,e)=(5,25)の場合
d+13=18,e-d=20なので28,26,24,22を計るのには25が使用されます。
それぞれのもう一つの分銅は3,1,1,3
18を計るには5+13または25-7とするしかないので、もう一つの分銅は13または7。
分銅が1,3,5,13,25の場合は2以上30以下のすべての偶数が計れます。
このとき合計は47。
分銅が1,3,5,7,25の場合は16が計れませんので不適です。
2-4.(d,e)=(7,23)の場合
d+13=20なので、28,26,24,22を計るのには23が使用されます。
それぞれのもう一つの分銅は5,3,1,1
分銅が1,3,5,7,23となりますが、14が計れませんので不適です。
2-5.(d,e)=(9,21)の場合
d+13=22なので、28,26.24を計るのには21が使用されます。
それぞれのもう一つの分銅は7,5,3
分銅が3,5,7,9,21と決まりますが、22が計れませんので不適。
2-6.(d,e)=(11,19)の場合
d+13=24なので28,26を計るのには19が使用されます。
それぞれのもう一つの分銅は9,7
24を計る場合は、11+13または19+5しかないので、もう一つの分銅は15または5
どちらの場合もa+b+cが17を超えるので不適です。
2-7.(d,e)=(13,17)の場合
d=13なのでa,b,c≦11です。
d+11=24なので、28,26を計るのには17が使用されます。
それぞれのもう一つの分銅は11,9
a+b+cが17を超えるので不適です。
総和が47以下になる組み合わせは一つしかありませんでしたので、
そのときが最小です。
分銅は1,3,5,13,25で合計47。
よって、元の問題の答えは、
5個の分銅の重さが0.5 , 1.5 , 2.5 , 6.5 ,12.5 (合計23.5)
ノーマルの場合も似たような感じで証明できます。
小数部が0.5以外の答えが存在しないことも示します。
無効になる計り方5個は、
重複が4個。
1.5-0.5=2.5-1.5=1
0.5+1.5=2.5-0.5=2
6.5-2.5=1.5+2.5=4
12.5-6.5=6.5-0.5=6
範囲外が1個。
12.5+6.5=19
これ以外の計り方はすべて有効です。
例えば、12.5-0.5=12、12.5+0.5=13はどちらも有効です。
小数部が0.5でない解があった場合も整数部は変わりませんので、
二つの分銅の重さの小数部をx,yとすると(0＜x,y＜1)、
12+x+(0+y)=13
12+x-(0+y)=12
これを解くとx=y=0.5ですので、整数部が12と0の分銅の小数部は0.5と確定します。
6.5-1.5=5、6.5+1.5=8も有効ですので、整数部が6と1についても0.5と確定します。
12.5-2.5=10、12.5+2.5=15も有効ですので、整数部2についても0.5と確定します。
よって、あの答えは唯一無二です。