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ほにょこ
2022/06/10 12:43
答えを発表します。
まずはおまけクイズから。
タイトルにありますように☆岩です。
答えは、
いわかん
かいわ
めいわく
さいわい
ろっく
でした。
本編の答えです。
馬岩をA、鷹岩をB、岩魚岩をC、鰈岩をK、宝の場所をPとします。
PはA,B,C,Kとは異なる場所です。
何の目印もない平原に埋めたということは、岩のある場所ではないということです。
PはAP+BP+CPが最小となる点です。
三角形ABCに対して、AP+BP+CPが最小となる点Pを、
三角形ABCのフェルマー点といいます。
フェルマー点は一意に決まります。
PがA,B,Cとは異なる点であることから、
A,B,Cは三角形をなし、三角形ABCはどの角も120度未満であることが分かります。
このとき角APB=角BPC=角CPA=120度です。
(詳しくはフェルマー点で検索してください)
Aを原点として、Y軸正の方向を北、X軸正の方向を東とする座標を考えます。
Bの座標を(a,b)とすると、
a^2+b^2=26^2
a+b=34
これを解くと、(a,b)=(10,24),(24,10)
Bの座標は(10,24)または(24,10)です。
姫は岩魚岩が鰈岩の真北にあると聞いて、宝の場所を特定できました。
宝の位置の候補が複数になる場合は特定できませんので、
宝の位置の候補は一つしかなかったということです。
あるA,B,C,P,Kが次の条件を満たしているとします。
・CはKの真北にある
・A,B,Cは三角形をなし、三角形ABCのどの角も120度未満
・Pは三角形ABCのフェルマー点
Cを更に北に移動すると、三角形ABCの3つの角の大きさはそれぞれ連続的に変化します。
ちょっとだけ北に動かして、三角形ABCのどの角も120度未満とすることができます。
この三角形のフェルマー点も宝の位置の候補ですので、Pと一致するはずです。
つまり、次の条件を満たす点C'が存在します。
・C'はCの真北にある(Kの真北でもある)
・A,B,C'は三角形をなし、三角形ABC'のどの角も120度未満
・Pは三角形ABC'のフェルマー点
このとき、角CPA=角C'PA=120度ですので、
C',C,Pは同一直線上にあることが分かります。
直線CPはY軸に平行です。
角APBの二等分線がY軸に平行となります。
直線APとY軸のなす角が60度で、APとX軸のなす角は30度。
直線BPとX軸のなす角も30度。
直線AP、直線BPの傾きは1/√3または-1/√3です。
Bの座標は(10,24)または(24,10)でした。
B(10,24)の場合
Pの候補は2点ありますが、どちらの場合も
角APBの二等分線はX軸に平行となり、Y軸に平行にはなりませんので不適。
B(24,10)の場合
Pの候補は(12-5√3,5-4√3)と(12+5√3,5+4√3)の2点。
(12-5√3,5-4√3)は不適です。
Pがこの位置になるのは、CがABよりも下にあるときだけです。
CがABより上にあり、三角形ABCがどの角も120度未満になるときは、
Pの位置が変わってしまいます。
CのY座標が十分に大きければ角ACBは120度未満にできます。
CのX座標はAより大きくBより小さいですので、角CABも角CBAも90度未満。
Kがどの位置にあってもPの候補が一通りには決まりませんので、
姫は宝の位置を特定することはできず、不適と分かります。
よってPの候補は(12+5√3,5+4√3)だけです。
この場合もCがABより下にあるとそれ以外の場所にもフェルマー点ができてしまい、
宝の場所が特定できなくなる場合がありますが、
Kがある点より北にあればそんなことは起こりません。
ちなみに、その点をQとすると、QのX座標は12+5√3で角AQB=120度、
ABより下にある点です。
計算してみると、Q(12+5√3,5+12√3-2√94)のようです。
姫が宝の場所を特定できるのは、KがQの真北にあるときのみ(K=Qも含む)。
そのときPの座標は(12+5√3,5+4√3)です。
従って答えは、
宝は馬岩から東に12+5√3里、北に5+4√3里のところに埋められている。
となります。
まずはおまけクイズから。
タイトルにありますように☆岩です。
答えは、
いわかん
かいわ
めいわく
さいわい
ろっく
でした。
本編の答えです。
馬岩をA、鷹岩をB、岩魚岩をC、鰈岩をK、宝の場所をPとします。
PはA,B,C,Kとは異なる場所です。
何の目印もない平原に埋めたということは、岩のある場所ではないということです。
PはAP+BP+CPが最小となる点です。
三角形ABCに対して、AP+BP+CPが最小となる点Pを、
三角形ABCのフェルマー点といいます。
フェルマー点は一意に決まります。
PがA,B,Cとは異なる点であることから、
A,B,Cは三角形をなし、三角形ABCはどの角も120度未満であることが分かります。
このとき角APB=角BPC=角CPA=120度です。
(詳しくはフェルマー点で検索してください)
Aを原点として、Y軸正の方向を北、X軸正の方向を東とする座標を考えます。
Bの座標を(a,b)とすると、
a^2+b^2=26^2
a+b=34
これを解くと、(a,b)=(10,24),(24,10)
Bの座標は(10,24)または(24,10)です。
姫は岩魚岩が鰈岩の真北にあると聞いて、宝の場所を特定できました。
宝の位置の候補が複数になる場合は特定できませんので、
宝の位置の候補は一つしかなかったということです。
あるA,B,C,P,Kが次の条件を満たしているとします。
・CはKの真北にある
・A,B,Cは三角形をなし、三角形ABCのどの角も120度未満
・Pは三角形ABCのフェルマー点
Cを更に北に移動すると、三角形ABCの3つの角の大きさはそれぞれ連続的に変化します。
ちょっとだけ北に動かして、三角形ABCのどの角も120度未満とすることができます。
この三角形のフェルマー点も宝の位置の候補ですので、Pと一致するはずです。
つまり、次の条件を満たす点C'が存在します。
・C'はCの真北にある(Kの真北でもある)
・A,B,C'は三角形をなし、三角形ABC'のどの角も120度未満
・Pは三角形ABC'のフェルマー点
このとき、角CPA=角C'PA=120度ですので、
C',C,Pは同一直線上にあることが分かります。
直線CPはY軸に平行です。
角APBの二等分線がY軸に平行となります。
直線APとY軸のなす角が60度で、APとX軸のなす角は30度。
直線BPとX軸のなす角も30度。
直線AP、直線BPの傾きは1/√3または-1/√3です。
Bの座標は(10,24)または(24,10)でした。
B(10,24)の場合
Pの候補は2点ありますが、どちらの場合も
角APBの二等分線はX軸に平行となり、Y軸に平行にはなりませんので不適。
B(24,10)の場合
Pの候補は(12-5√3,5-4√3)と(12+5√3,5+4√3)の2点。
(12-5√3,5-4√3)は不適です。
Pがこの位置になるのは、CがABよりも下にあるときだけです。
CがABより上にあり、三角形ABCがどの角も120度未満になるときは、
Pの位置が変わってしまいます。
CのY座標が十分に大きければ角ACBは120度未満にできます。
CのX座標はAより大きくBより小さいですので、角CABも角CBAも90度未満。
Kがどの位置にあってもPの候補が一通りには決まりませんので、
姫は宝の位置を特定することはできず、不適と分かります。
よってPの候補は(12+5√3,5+4√3)だけです。
この場合もCがABより下にあるとそれ以外の場所にもフェルマー点ができてしまい、
宝の場所が特定できなくなる場合がありますが、
Kがある点より北にあればそんなことは起こりません。
ちなみに、その点をQとすると、QのX座標は12+5√3で角AQB=120度、
ABより下にある点です。
計算してみると、Q(12+5√3,5+12√3-2√94)のようです。
姫が宝の場所を特定できるのは、KがQの真北にあるときのみ(K=Qも含む)。
そのときPの座標は(12+5√3,5+4√3)です。
従って答えは、
宝は馬岩から東に12+5√3里、北に5+4√3里のところに埋められている。
となります。