千夜一夜
面白そうな拡張ですね！！
まだ詳しく拝見しておりませんけれども、
次のような場合にはどのような結論が得られるのでしょうか。
r = j/(j+1)
ただし、 j は正の整数とします。
始めに開封したら偶数クレジットが出現した場合に、その額面をBとして、
封筒を交換した場合の額面の期待値の増分をBの関数で表すこととなりますが、はて？
任意の j について言えることがわかれば、
j → ∞ の極限において、なにかおもしろいことが言えることが出てくるのかどうか……
B*{1/(4+2/j)-1/(4*j+2)}
になりそうですかね……
また、始めに開封したら奇数クレジットが出現する確率は、
j→∞ のときに、C→0 となることから、
こちらもまた、0に収束しそう。
要するに奇数を引くケースはほぼなし。
―――
とりあえず、 私は ほにょこさん定義の確率分布で全確率が 1 になるかどうか今後、検算予定です。
P(a)=C/(a^2)
P(b)=P(b/2)*r
とします。
rは実数の定数で、0<r<1とします。
C=8(1-r)/(π^2)とすれば、総和は1になるはず。
rが1/2より大きい場合、例えばr=2/3の場合を考えてみます。
選んだ封筒に奇数クレジットが入っていたとすると、
もう一方の封筒にはその2倍が入っていると分かりますので、
封筒を取り換えた方が得です。
選んだ封筒に偶数クレジットが入っていたとします。
この金額をbとします。
当然bは有限の値です。
ケースA:bが表示されて、bと2bが封筒に入れられた
ケースB:b/2が表示されて、b/2とbが封筒に入れられた
のふたつのケースが考えられます。
ケースAだった確率は、
P(b)/(P(b)+P(b/2))=P(b/2)*2/3/(P(b/2)*2/3+P(b/2))=2/5
ケースBだった確率は3/5
封筒を取り換えた時に得られる利益の期待値は、
2/5*(2b-b)+3/5*(b/2-b)=b/10
利益の期待値がプラスになりますので封筒を取り換えた方が得です。
選んだ封筒にいくら入っていたとしても、取り換えた方が得になるのです。