wikiの未解決問題に挙っているので、少し考えてみました
根本解決にはなっていませんが、解決の足しにして頂ければ幸いです。
自然数Xが、二乗して下の桁にXが現れる、という性質を満たしているとします。
Xがn桁だったとき、これを下の(n-1)桁と、一番上の桁とに分けて考えます。つまり、
X=A*10^(n-1)+B
と書くことにします。
Bは上で書いた通り、Xの下(n-1)桁に相当する自然数で、(n-1)桁です。
Xを二乗して下の桁にXが現れるので、当然下(n-1)桁についてもあてはまるはず。
つまりXを二乗したときに、下(n-1)桁の部分はBが登場します。
一方、Xの二乗の計算を見てみます。
下(n-1)桁の計算に関係するのはXの下(n-1)桁の部分しかありません。
これは筆算を思い出してもらえればわかるかと思います。
つまり下(n-1)桁の部分に関与するのはXの下(n-1)桁の部分、つまり一番上の桁の数字Aには関係ないということがわかります。
これは、X^2の計算結果の下(n-1)桁は、B^2の計算結果の下(n-1)桁と一致する、ということです。
したがって、下(n-1)桁を見るとB^2と結果が一致しそれがBになる、ということです。
なので、上の性質を満たすXがあると、その一番上の桁を取り払ってできた数字も同じ性質を満たす、ということがわかります。
（例）90625→(0625)→625→25→5
これは先にいろんな方が挙げている数字を見れば当たり前ですね
根本解決にはなっていませんが、解決の足しにして頂ければ幸いです。
自然数Xが、二乗して下の桁にXが現れる、という性質を満たしているとします。
Xがn桁だったとき、これを下の(n-1)桁と、一番上の桁とに分けて考えます。つまり、
X=A*10^(n-1)+B
と書くことにします。
Bは上で書いた通り、Xの下(n-1)桁に相当する自然数で、(n-1)桁です。
Xを二乗して下の桁にXが現れるので、当然下(n-1)桁についてもあてはまるはず。
つまりXを二乗したときに、下(n-1)桁の部分はBが登場します。
一方、Xの二乗の計算を見てみます。
下(n-1)桁の計算に関係するのはXの下(n-1)桁の部分しかありません。
これは筆算を思い出してもらえればわかるかと思います。
つまり下(n-1)桁の部分に関与するのはXの下(n-1)桁の部分、つまり一番上の桁の数字Aには関係ないということがわかります。
これは、X^2の計算結果の下(n-1)桁は、B^2の計算結果の下(n-1)桁と一致する、ということです。
したがって、下(n-1)桁を見るとB^2と結果が一致しそれがBになる、ということです。
なので、上の性質を満たすXがあると、その一番上の桁を取り払ってできた数字も同じ性質を満たす、ということがわかります。
（例）90625→(0625)→625→25→5
これは先にいろんな方が挙げている数字を見れば当たり前ですね