さらにもう一つ面白い性質があります。
上で挙げられている数字を、桁が同じもの同士足し算してみます。
5+6=11
25+76=101
625+376=1001
0625+9376=10001
90625+09376=100001（0625や09276を便宜的に加えたことで、実はこのようにうまくいくのでした）
890625+109376=1000001
2890625+7109376=10000001
12890625+87109376=100000001
となります。
なぜならXが上の性質を満たすn桁（便宜的なのも含む）の自然数だとします。
するとX^2-X=Y*10^nと書けます。
X^2-X-Y*10^n=0
と書き直して、これをXの二次方程式と見なします。
これは二つの実数解をもち、それぞれa、b（a<bとする）と書きます。
すると
a+b=1、ab=-Y*10^nで、a<0<bとなります。
ここでc=(10^n+1)-bとし、d=1-c=b-10^nとします。
cとdを解に持つ二次方程式を作ってみます。
まずc+d=1です。
c*d
={(10^n+1)-b}*(b-10^n)
=-b^2+b+2b*10^n-10^2n-10^n
bは元々二次方程式X^2-X-Y*10^n=0の解なので、
b^2-b-Y*10^n=0を満たします。
よって
c*d
=-Y*10^n+2b*10^n-10^2n-10^n
=-{Y-2b+10^n+1}*10^n
これを-Z*10^nと表すことにします。
すると、cdを解に持つ二次方程式は、
X^2-X-Z*10^n=0
となります。
解のうち一つは正でcである。
便宜的なn桁も考慮して、さらに最後の桁は5か6なので5≦b≦10^n-4と書ける。
c=(10^n+1)-bからc範囲は
5≦c≦10^n-4となりcも便宜的にn桁となります。
つまり、bが分かれば同じ桁数のcが作れる、ということです。
したがって、以降は一の位が5のシリーズだけを考えれば、一の位が6のシリーズは簡単に作れるということですね
上で挙げられている数字を、桁が同じもの同士足し算してみます。
5+6=11
25+76=101
625+376=1001
0625+9376=10001
90625+09376=100001（0625や09276を便宜的に加えたことで、実はこのようにうまくいくのでした）
890625+109376=1000001
2890625+7109376=10000001
12890625+87109376=100000001
となります。
なぜならXが上の性質を満たすn桁（便宜的なのも含む）の自然数だとします。
するとX^2-X=Y*10^nと書けます。
X^2-X-Y*10^n=0
と書き直して、これをXの二次方程式と見なします。
これは二つの実数解をもち、それぞれa、b（a<bとする）と書きます。
すると
a+b=1、ab=-Y*10^nで、a<0<bとなります。
ここでc=(10^n+1)-bとし、d=1-c=b-10^nとします。
cとdを解に持つ二次方程式を作ってみます。
まずc+d=1です。
c*d
={(10^n+1)-b}*(b-10^n)
=-b^2+b+2b*10^n-10^2n-10^n
bは元々二次方程式X^2-X-Y*10^n=0の解なので、
b^2-b-Y*10^n=0を満たします。
よって
c*d
=-Y*10^n+2b*10^n-10^2n-10^n
=-{Y-2b+10^n+1}*10^n
これを-Z*10^nと表すことにします。
すると、cdを解に持つ二次方程式は、
X^2-X-Z*10^n=0
となります。
解のうち一つは正でcである。
便宜的なn桁も考慮して、さらに最後の桁は5か6なので5≦b≦10^n-4と書ける。
c=(10^n+1)-bからc範囲は
5≦c≦10^n-4となりcも便宜的にn桁となります。
つまり、bが分かれば同じ桁数のcが作れる、ということです。
したがって、以降は一の位が5のシリーズだけを考えれば、一の位が6のシリーズは簡単に作れるということですね