今回はほんの少し難しいかも？
図のような物体について考える。
図の物体は、下にある直方体の、高さを二倍にして、縦と横の長さを二分の一倍した直方体を次々と無限に組み合わせていった物体である。
また、一番下には、1m×1m×1mの立方体がある。(説明下手でごめんなさい)
ここで、この物体の面積は赤+青の面積なので(底面は青と考える)...①
青の面積は、
1+｛(1×1-0.5×0.5)+(0.5×0.5-0.25×0.25)+...｝
=1+1=2...②
赤の面積は、
4×｛1×1+2×0.5+4×0.25+8×0.125+...｝
=4×｛1+1+1+1+...｝
=∞...③
よって、物体の面積は、2+∞=∞...④
さらに、体積について考える。面積が無限で体積が有限の物体を考えると、体積が有限なのでこの物体は実現可能ということになるが、面積が無限の物体は存在しないので、体積は無限となる。(体積が無限の物体は存在しない)
物体の体積をVとすると、
V=∞...⑤
また、図より体積を求めると、
V=(1×1×1)+(2×0.5×0.5)+(4×0.25×0.25)+...
=1+0.5+0.25+.....
=2...⑥
よって、∞=2...⑦
両辺∞で割って、
1=0...⑧
両辺に1を足して、
2=1...⑨
Q.E.D. 証明終了
当然この結果はおかしいですが、このような結果になった原因はこの証明のどこでしょうか。その箇所を①から⑨のうち一つ選んで下さい。
暇な人は理由もお願いします。
締め切りは一週間。
追記
青の面積と赤の面積の途中計算が普通に間違えてたので修正しました。すみません。答えは変更なしです。
図のような物体について考える。
図の物体は、下にある直方体の、高さを二倍にして、縦と横の長さを二分の一倍した直方体を次々と無限に組み合わせていった物体である。
また、一番下には、1m×1m×1mの立方体がある。(説明下手でごめんなさい)
ここで、この物体の面積は赤+青の面積なので(底面は青と考える)...①
青の面積は、
1+｛(1×1-0.5×0.5)+(0.5×0.5-0.25×0.25)+...｝
=1+1=2...②
赤の面積は、
4×｛1×1+2×0.5+4×0.25+8×0.125+...｝
=4×｛1+1+1+1+...｝
=∞...③
よって、物体の面積は、2+∞=∞...④
さらに、体積について考える。面積が無限で体積が有限の物体を考えると、体積が有限なのでこの物体は実現可能ということになるが、面積が無限の物体は存在しないので、体積は無限となる。(体積が無限の物体は存在しない)
物体の体積をVとすると、
V=∞...⑤
また、図より体積を求めると、
V=(1×1×1)+(2×0.5×0.5)+(4×0.25×0.25)+...
=1+0.5+0.25+.....
=2...⑥
よって、∞=2...⑦
両辺∞で割って、
1=0...⑧
両辺に1を足して、
2=1...⑨
Q.E.D. 証明終了
当然この結果はおかしいですが、このような結果になった原因はこの証明のどこでしょうか。その箇所を①から⑨のうち一つ選んで下さい。
暇な人は理由もお願いします。
締め切りは一週間。
追記
青の面積と赤の面積の途中計算が普通に間違えてたので修正しました。すみません。答えは変更なしです。