ｸｲｽﾞ大陸

今年に入って上陸しました、ジンベエと申します。
他の方の問題を見ていても、どうやって作っているのだろうと感心させられることが多いです。
　
さて、ベテランの方々に負けないような良問奇問を作っていけるようになりたいなという思いも込めて、最初はラッキーセブンに関する問題です。答案ではなく立てた推測だけコメントしてくださっても構いませんよ。

7がx桁並んでできる自然数をN(x)と表すことにする。(xは自然数)
例えば、N(1)=7, N(4)=7777 である。
kを自然数として、N(1), N(2), N(3), ……, N(k)というk個の数のうち、kの倍数が少なくとも一つ存在するための必要十分条件を求めよ。

(問題文中の数はすべて10進法で表してあることを一応述べておきます)