物理的なところと，数学の概念上のところを近づけて納得できるような説明を考えるとすれば。
（円錐と断面の円では説明しづらいので，三角形とそれを上下２つに切断する直線で説明します）
三角形をまず三角形と台形の２つに分けます。
これを元に戻します（三角形と台形をくっつける）。
このとき，「台形の上に三角形を乗せる」のではなく，「三角形の底辺と台形の上底を重ねる」というイメージを持ちます。
切断線の長さをaとすると，三角形と台形をくっつけるときに，「aの長さの上にaの長さを置く」ではなく「aの長さの部分を重ねる」という感じ。
すると，長さは同じでも矛盾しないように感じませんか？
実際に紙を切って作ろうとすると，三角形と台形が最初は一枚の紙だったのに，くっつけるときには「重なる部分」ができてしまいおかしく感じられるかもしれませんが，数学の概念上だと，直線には幅がありませんから，重ねてしまっても矛盾しないと思います。
こんな説明で，どうでしょう？
円錐と断面の円だと，切断面を重ねるときに「極薄の円盤」ができてしまうように感じるかもしれないけど，その円盤の薄さは0だから矛盾しない･･･みたいな感じ。
やっぱりわかりにくいか
（円錐と断面の円では説明しづらいので，三角形とそれを上下２つに切断する直線で説明します）
三角形をまず三角形と台形の２つに分けます。
これを元に戻します（三角形と台形をくっつける）。
このとき，「台形の上に三角形を乗せる」のではなく，「三角形の底辺と台形の上底を重ねる」というイメージを持ちます。
切断線の長さをaとすると，三角形と台形をくっつけるときに，「aの長さの上にaの長さを置く」ではなく「aの長さの部分を重ねる」という感じ。
すると，長さは同じでも矛盾しないように感じませんか？
実際に紙を切って作ろうとすると，三角形と台形が最初は一枚の紙だったのに，くっつけるときには「重なる部分」ができてしまいおかしく感じられるかもしれませんが，数学の概念上だと，直線には幅がありませんから，重ねてしまっても矛盾しないと思います。
こんな説明で，どうでしょう？
円錐と断面の円だと，切断面を重ねるときに「極薄の円盤」ができてしまうように感じるかもしれないけど，その円盤の薄さは0だから矛盾しない･･･みたいな感じ。
やっぱりわかりにくいか