ｸｲｽﾞ大陸

>ここで1番目と3番目の領域が接するとなると、この3領域の間に
必ず奇点（奇数本の線が集まった点）が発生します。

うーん、それによって矛盾することにはならないと思います。3領域の中に「始点・終点」がある場合も考えられるので。
例えば下のような状況を考えて、始点と終点を単純に直線で結ぶと1番目の領域と3番目の領域が接してしまいます。

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もちろん上の場合でもちゃんと塗り分けられるのですが、少なくとも「始点から終点に適当に線を引いて〜」という証明では不十分な気がします。

→今思いつきましたが、「始点から終点まで、通る領域の数が最小となるような線を引く」とすれば、「もし1番目と3番目が接しているとすると、『1番目→3番目→4番目→…』というルートが取れて最小性に矛盾。よって1番目と3番目は接していない」と結論できますね。それでいいのか。