んー、遠ざかっちゃいましたね...
どうしてこの数になったのかがいまいちピンと来てませんが、この方法でも正解の個数を調べることはできそうです。ただし、厳密には正確ではありません。
(角度が1°ずれたときにsin, cosのどちらか片方が1繰り上がった(or繰り下がった)場合は素直に隣のマスに移ったと捉えればいいですが、sin, cosの両方が1繰り上がった(or繰り下がった)場合(今回は1か所だけそのようなポイントがあります)は交点を通過したのか、交点スレスレを通過したのかを判断できないため。)
ヒントを付け足しますと、正方形を通過するときに必ず「あれ」を通過するので、正方形を通過する回数と「あれ」を通過する回数は対応しているはずです。そして、「あれ」を通過する回数は直感的に知ることが出来ます。
また、ゴリ押しで数えた時におそらく、「これは交点を通っているかどうかきわどいな」と感じる箇所があったと思います。では円がその交点を通過しているかどうかを調べるにはどうすればいいでしょうか。これはその交点に着目することで、計算で調べることが出来ます。(そして、この考え方はゴリ押しで数えない場合にも重要になってきます)
と、長くなりましたがこんな感じでしょうか。
それではご検討お祈りしています
具無しのとんぺい
ちなみにヒント追加、意味が分からずじまい。