再チャレンジありがとうございます！
そうですね
まあどういう図形になるかは結果的にわかるって感じなので(笑)
微分計算を駆使した典型的な解法ですね
自分は面積Sの最大値を求める際にパラメーターを設定し直していたので、この解法については試してなかったです
yによる面積の変化をグラフで表す場合、2回微分でグラフの曲がり具合を考察する際は基本的には1点のみではなく、可能な範囲全体を見ないとあまり意味はないように思います。(最大値になりそうな点の右極限と左極限を見ればまた話は別かもですが
)
今回の場合は導関数をさらに微分した式が0<y<1(本当のyの取りうる値の範囲は0<y<1/2ですが、これでもまあOKです)の範囲で必ず<0となること(と、導関数=0となるyがこの範囲内にあること)から、面積のグラフが上に凸である事がわかるので、導関数=0となるyの値から、端点での面積を求めなくても最大値が求められます。
(あと実は、2回微分しなくても導関数の値の正負の挙動を見ることで最大値が求められます。
その場合は端点の値も調べないとですが。これはウソです。今回の場合は調べなくてもOKです。すみません(-へ-;))
その部分だけが惜しかったですが、証明の流れ自体は正しいので正解とさせていただきます！おめでとうございます！
↑↑いえいえ！忘れていた知識を調べて、ここまでできたなら十分だと思います 
具無しのとんぺい
と思ったら完走していた
というかほぼ前半がすべてだったというか
算数に関しては昔の記憶すぎて思い出せなかったのでググりました。
↓わぁい、おまけでも正解ありがとうございます。
グラフの形が想像できてないのがモロバレですねぇ・・・