ｸｲｽﾞ大陸

Nを4で割った余りが0または3のときにだけ、二つの和が等しくなるようなグループを作ることができます。以下解説です。

[1] Nを4で割った余りが0または3のときについて

A. 直接グループ分けする方法

・N = 4nのとき
1, 2, 3, ..., 4n-2, 4n-1, 4nを、
(1, 4n), (2, 4n-1), (3, 4n-2), ...
とそれぞれの和が4n+1になるようにペアにします(Nは偶数なので仲間はずれは発生しません)。
このペアは全部で2n個あるので、それらをn個ずつAとBに入れていけば、Aの和とBの和がそれぞれn(4n+1)になるように作ることができます。

・N = 4n+3のとき
まずはじめの3個を後回しにして、
4, 5, 6, ..., 4n+1, 4n+2, 4n+3を、
(4, 4n+3), (5, 4n+2), (6, 4n+1), ...
とそれぞれの和が4n+7になるようにペアにします(こちらも仲間はずれは発生しません)。
このペアは全部で2n個あるので、それらをn個ずつAとBに入れていけば、この時点でAの和とBの和がそれぞれn(4n+7)になります。
最後にAに1と2を、Bに3を加えれば、それぞれの和がn(4n+7)+3 = (n+1)(4n+3)になるようなグループ分けが完成します。

B. 順々にグループを作っていく方法

あるNについて、和が等しくなるグループAとBがすでに作れているとします。
このとき、AにN+1とN+4を加えたものをA'、BにN+2とN+3を加えたものをB'とすれば、A'とB'がN+4の場合についての和が等しいグループになっています。
N = 3のときはA: {1, 2}, B: {3}
N = 4のときはA: {1, 4}, B: {2, 3}
というグループ分けが存在するので、これから順々にN = 3, 7, 11, ..., 4n+3とN = 4, 8, 12, ..., 4nのグループ分けを作っていくことができます(いわゆる数学的帰納法です)。

[2] Nを4で割った余りが1または2のときについて

C. 奇数の個数に着目する方法

1からNまでのN個の整数について、
N = 4n+1のときは
奇数: 2n+1個
偶数: 2n個
N = 4n+2のときは
奇数: 2n+1個
偶数: 2n+1個
となり、どちらの場合も奇数は奇数個存在します。
したがってこれをグループ分けすると、
一方は、「偶数がいくつか+奇数が奇数個」
もう一方は、「偶数がいくつか+奇数が偶数個」
という形になり、一方の和は奇数、もう一方の和は偶数になるので、両者が等しくなることはありません。

D. 総和に着目する方法

1からNまでのN個の整数の総和をSとすれば、
S = 1/2×N(N+1)
となるので、N = 4n+1のときは、
S = (4n+1)(2n+1)
N = 4n+2のときは、
S = (4n+3)(2n+1)
となります。
したがって、どちらの場合もSは奇数×奇数で奇数となるので、和をグループAとBにちょうど二分割することはできません。