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ぼやき餅
2016/12/27 16:39
解答公開をしました。
(本解)
第１ヒントから、k＞＝4×31/2
逆に、k＞＝4×31/2 のとき、
(与式左辺)2−(与式右辺)2
＞＝(a2＋b2＋c2)2−(4×31/2S)2
＝(a2＋b2＋c2)2−48S2
＝4(a4＋b4＋c4−a2b2−b2c2−c2a2) (ヘロンの公式を用いた)
＝2{(a2−b2)2＋(b2−c2)2＋(c2−a2)2}
＞＝0
等号は a＝b＝c のとき成立する。
与式の両辺は正なので、k＞＝4×31/2 のとき与式が成立する。
k の最大値は 4×31/2
(本解)
第１ヒントから、k＞＝4×31/2
逆に、k＞＝4×31/2 のとき、
(与式左辺)2−(与式右辺)2
＞＝(a2＋b2＋c2)2−(4×31/2S)2
＝(a2＋b2＋c2)2−48S2
＝4(a4＋b4＋c4−a2b2−b2c2−c2a2) (ヘロンの公式を用いた)
＝2{(a2−b2)2＋(b2−c2)2＋(c2−a2)2}
＞＝0
等号は a＝b＝c のとき成立する。
与式の両辺は正なので、k＞＝4×31/2 のとき与式が成立する。
k の最大値は 4×31/2