ｸｲｽﾞ大陸

解答です．

(1)2016^2016の時点で操作回数k=0とする．
[1]k=0で生成される数2016^2016は9の倍数である．
[2]k=nで生成される数が9の倍数であると仮定する．するとk=n+1で生成される数はその数の各桁の数の和であるが，9の倍数の各桁の和はまた9の倍数であるので，k=n+1で生成される数も9の倍数である．
以上より，何度操作しても9の倍数になる．問題より最後は1桁の整数になることが明らかであり(単調減少性を示すのは簡単ですが省略)，候補は0か9しかない．明らかに0にはならないので9しか残らない．
答：[ ア ]=9

(2)どこかに0があれば各桁の積は0になる．2016^{[ イ ]}は莫大な数になるので，ほぼ確実にどこかに0があることが予想される．しかしそれは予想でしかないので，確実に0が含まれるような[ イ ]を探すのが方針となる．
下2桁の周期は長さ5で16→56→96→36→76→16となる．もし下2桁が56になれば，1回目の操作後に得られる数は必ず30の倍数になり，末尾が0になる．よって2回目の操作で確実に各桁の積が0になる．前述の周期より指数が5の倍数であれば末尾が76であり，したがって2016^2015の末尾が76．よって2016^2017の末尾が56になる．よって一例として
答：[ イ ]=2017，[ ウ ]=0．

他に下3桁の周期に着目して016などが何項ごとに現れるかを考える方法もあります．