ｸｲｽﾞ大陸

簡単なのでもう解答を公開したと思います．
「穴のない図形」という条件を付けましたが，まだ問題に「穴」がありましたね…
「図形Bの高さ0における断面の長さまたは面積は0である」という条件を追加したいと思います．この条件がなくて回答は可能ですが，一応の想定解はこの条件の下での解でした．


(1)
図形Aを高さH，底辺2Hの直角二等辺三角形とします．高さhにおける断面の長さは
2(H-h)
です．よって，同じ高さにおける図形Bの断面の長さは2hとなります．
見ての通り，hの1次式で高さh=0で0，h=Hで2Hです．
図形Bも線対称なので，結局，図形Aをひっくり返しただけの直角二等辺三角形ということになります．

(2)
図形Cを高さH，底面の半径2Hの直角円錐とします．高さhにおける断面積は
4π(H-h)^2
です．よって，同じ高さにおける図形Dの断面積は4π{H^2-(H-h)^2}となります．
図形Dも回転体なので，高さhにおける断面は円であり，その半径は2√{H^2-(H-h)^2}　…(α)

半径Rの球の底からpだけ離れた断面の半径rは三平方の定理より
R^2=(R-p)^2+r^2
よりr=√{R^2-(R-p)^2}
となり，見比べると(α)式は，半径2Hの球を表しています．

今の問題では高さHより上はないので，図形Dは下半分だけの半球となります．

(1)は直感的に当たり前の答えですが，(2)は底面積と半径が等しい直角円錐と半球は，同じ高さにおける断面積の和が常に一定になるという関係で結ばれるという面白い関係があることを示しています．