これは、本問ではそこまで踏み込まなくても大丈夫な気がしますが・・・
確かに、「確率的に決まる」場合の「どのように決まる」のか問題で、ちょっと違う性質を持った決まり方ですね。
こうだとすると、通用しなくなる質問法は、確かに存在しますね。
但し、本問ではそこまで想定しなくても・・・という気もしますが

12/27 17:00追記 一度は↑のようにコメントしたのですが、よくよく考えていくと、量子論的に、unknownが質問という「計測」によってtrueかfalseに確定するという性質こそが、本問の本質のように思えてきました。
この厄介な性質を回避しながら質問をする方法は確かにありますが、真っ正面から考えると、想定する方が自然のように思えてきました。
(ようやくs_hskzさんのお考えに少し追いついてきました

)
ウソをつくかどうかの意思決定の部分についてはまだ十分追いついていない気がします・・・すみません(・o・‖)