ｸｲｽﾞ大陸

　
Yssさんのコメントによりちょっとヒントを考えてみました。

25未満の24個の自然数のうち、5の倍数を取り除いたものを、次のように、4つのグループに仕分けします。

A: {1,6,11,16,21}
B: {2,7,12,17,22}
C: {3,8,13,18,23}
D: {4,9,14,19,24}

Xを上記のうちの、ひとつだとしましょう。

X: {i,j,k,l,m}

このとき、i,j,k,l,m は、それぞれ5で割ったときの余りが同一になっています。（そうなるようにグループ分けしました。）

さて、Xのメンバーの総和は必ず5の倍数になりますけれども25の倍数にはなりません。というのは、総和は、5kに等しく、そして、kは5の倍数ではないからです。

このような性質をもつXのメンバーのそれぞれが、聖王の各宮七つのうちの五つについての居住年数だと考えてみましょう。五つの宮の居住年数の総和は25の倍数にはならないことは先にみた通りですが、五つの宮のどの宮（1から4までの複数可）を省いても、必ず、25の倍数はおろか、5の倍数ですらありません。なんとならば、【総和が5の倍数なのに、どのメンバーについての部分和も5の倍数ではないからです。】

聖王の人生において五つの宮にしかお住まいになられていなかったとしたならば、このXが解になることでしょう。しかしながら、あと二つの宮にもお住まいになられていました。 さてどうしましょう？ 実は上で【強調】した性質を利用すればよいのでした。

……というのが出題の意図でしたが、問題作成時に単純なミスを連発してしまい、聖王の寿命がひとつに定まらないことになりまして、実にお恥ずかしい次第です。

なお、上記の作成方法以外に別な手段で更なる別解があるかどうか……なんどかチェックしましたが依然として漏れがあるかどうか不安感が拭えず凹んでおります。
たとえば、Aからふたつ、Dからふたつ採用した場合に、やたらと5の倍数が発生しますが……この他にBやCからひとつ参加させると25の倍数が必ず発生する、といった検査です。（こうした検査は御回答者の皆さんには要請しておりません。出題者の仕事ですので。）