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Yss
2015/10/20 16:29
以下、矛盾についての説明です。
まず直感的な疑問。
「二日目である」という情報を得たときと、
「三日目である」という情報を得たときで、
確率の計算が違うのに、
「二日目である」という情報を得たときと、
「二日目または三日目である」という情報を得たときで、
確率が同じになるというのは、不自然ではありませんか？
（これが直感的な疑問）
以下、ちゃんと計算してみるとこうなります。
「目覚めたら、二日目であると知った」を事象Ｓ
「目覚めたら、三日目であると知った」を事象Ｔ
「目覚めたら、二日目または三日目であると知った」を事象ＳＴ
※事象STは S∪T と同義。←かどうかは少し議論の余地があるかも。
場合Ｂであるを 事象Ｂ
事象ＳとＴは排反ですので、
条件付き確率を、Aが起きた時Bが起きる確率：PA(B)と書き、また、
同時確率を、AとBが両方起きる確率：P(A∩B)と表記すると、
P(S∩B)=PS(B)・P(S)
P(T∩B)=PT(B)・P(T)
PST(B)・P(ST) =P((S∪T)∩B) = PS(B)・P(S) + PT(B)・P(T)
と、なるはずですが、
Ｔ派（１／３派）の場合、
PS(B)=1/3
P(S)=3/6=1/2
PT(B)=1/2
P(T)=2/6=1/3
P(ST)=5/6
ですので、
PST(B) = 2/5 ←問１３・１４の答えになり、整合する
Ｈ派（１／２派）の場合、
PS(B)=3/11
P(S)=(1+ 1/2 + 1/3)/3=11/18
PT(B)=3/5
P(T)=(1/2 + 1/3)/3 =5/18
P(ST)=(1+ 1/2 + 1/2 +1/3 +1/3)/3=8/9
ですので、
PST(B) = 3/8 ←問１３・１４の答えになり、整合する
となって、それぞれ辻褄が合っているんですが、
（追記：↓ここから下の計算は、後にあれれさんのご指摘を受けて、間違いであることが分かりました。記録のために残してありますが、計算は違っています）
Ｏ派の場合、ここに矛盾がでると思うんですね。
PS(B)=1/3
P(S)=1
PT(B)=1/2
P(T)=1
P(ST)=1
P(S)、P(T)、P(ST)の定義は難しいと思うんですが、
あれれさんのNo.77のように、必ず起こるからと、
P(S)=1, P(T)=1, P(ST)=1を採用すると、
PST(B) = 5/6
となります。
しかし、問１５ 問１６は １／３。
ここで、辻褄が合わなくなってしまいます。
そして、もっと衝撃的な展開が、ここからです。
ここでもしも、
P(S)とP(T)の値として、
二日目だと三通り、三日目だと二通りあるから、
３：２の比率で重み付けをするような確率を定義すると、
次の質問が、Ｏ派の息の根を止める質問になります。
では、
「二日目、または、三日目、または、四日目である」
という情報を得た場合
（つまり、ただ目覚めた場合と同じ）
どう計算するのか、という話。
二日目の確率：３
三日目の確率：２
四日目の確率：１
の比率で重み付けをした場合、
どうなるかというと、
実は、１／３派（Ｔ派）の答えと同じになるんです。
計算すれば分かりますし、
目覚めの機会を全て均等に扱うというのが１／３派の主張ですから、
結局そこに帰着してしまうわけです。
Ｏ派、つまりコイントス確率空間を重視する考え方の弱点は、
「二日目または三日目である」という情報を得たときに、
・その確率は計算不可能
または
・計算できるが、条件付き確率の公式で辻褄が合わなくなる
または
・結局１／３派に鞍替えせざるを得なくなる
のどれかを選ばなければならない、
というところにあると思います。
（もうすこし概念的な表現ができたらいいのですが、私の知力ではここまでが限界・・・）
まず直感的な疑問。
「二日目である」という情報を得たときと、
「三日目である」という情報を得たときで、
確率の計算が違うのに、
「二日目である」という情報を得たときと、
「二日目または三日目である」という情報を得たときで、
確率が同じになるというのは、不自然ではありませんか？
（これが直感的な疑問）
以下、ちゃんと計算してみるとこうなります。
「目覚めたら、二日目であると知った」を事象Ｓ
「目覚めたら、三日目であると知った」を事象Ｔ
「目覚めたら、二日目または三日目であると知った」を事象ＳＴ
※事象STは S∪T と同義。←かどうかは少し議論の余地があるかも。
場合Ｂであるを 事象Ｂ
事象ＳとＴは排反ですので、
条件付き確率を、Aが起きた時Bが起きる確率：PA(B)と書き、また、
同時確率を、AとBが両方起きる確率：P(A∩B)と表記すると、
P(S∩B)=PS(B)・P(S)
P(T∩B)=PT(B)・P(T)
PST(B)・P(ST) =P((S∪T)∩B) = PS(B)・P(S) + PT(B)・P(T)
と、なるはずですが、
Ｔ派（１／３派）の場合、
PS(B)=1/3
P(S)=3/6=1/2
PT(B)=1/2
P(T)=2/6=1/3
P(ST)=5/6
ですので、
PST(B) = 2/5 ←問１３・１４の答えになり、整合する
Ｈ派（１／２派）の場合、
PS(B)=3/11
P(S)=(1+ 1/2 + 1/3)/3=11/18
PT(B)=3/5
P(T)=(1/2 + 1/3)/3 =5/18
P(ST)=(1+ 1/2 + 1/2 +1/3 +1/3)/3=8/9
ですので、
PST(B) = 3/8 ←問１３・１４の答えになり、整合する
となって、それぞれ辻褄が合っているんですが、
（追記：↓ここから下の計算は、後にあれれさんのご指摘を受けて、間違いであることが分かりました。記録のために残してありますが、計算は違っています）
Ｏ派の場合、ここに矛盾がでると思うんですね。
PS(B)=1/3
P(S)=1
PT(B)=1/2
P(T)=1
P(ST)=1
P(S)、P(T)、P(ST)の定義は難しいと思うんですが、
あれれさんのNo.77のように、必ず起こるからと、
P(S)=1, P(T)=1, P(ST)=1を採用すると、
PST(B) = 5/6
となります。
しかし、問１５ 問１６は １／３。
ここで、辻褄が合わなくなってしまいます。
そして、もっと衝撃的な展開が、ここからです。
ここでもしも、
P(S)とP(T)の値として、
二日目だと三通り、三日目だと二通りあるから、
３：２の比率で重み付けをするような確率を定義すると、
次の質問が、Ｏ派の息の根を止める質問になります。
では、
「二日目、または、三日目、または、四日目である」
という情報を得た場合
（つまり、ただ目覚めた場合と同じ）
どう計算するのか、という話。
二日目の確率：３
三日目の確率：２
四日目の確率：１
の比率で重み付けをした場合、
どうなるかというと、
実は、１／３派（Ｔ派）の答えと同じになるんです。
計算すれば分かりますし、
目覚めの機会を全て均等に扱うというのが１／３派の主張ですから、
結局そこに帰着してしまうわけです。
Ｏ派、つまりコイントス確率空間を重視する考え方の弱点は、
「二日目または三日目である」という情報を得たときに、
・その確率は計算不可能
または
・計算できるが、条件付き確率の公式で辻褄が合わなくなる
または
・結局１／３派に鞍替えせざるを得なくなる
のどれかを選ばなければならない、
というところにあると思います。
（もうすこし概念的な表現ができたらいいのですが、私の知力ではここまでが限界・・・）