ｸｲｽﾞ大陸

本問（応用除く）の解答と解説を公開します。

>>33　に、ベイズの定理についてコメントしましたので、
それと合わせて、読んで頂きたく、お願いいたします。

まず、本問（応用問題ではない方）についてですが、

事象Ａ　彼が天使である　（AngelのA）
事象Ｄ　彼が悪魔である　（DevilのD）
事象Ｂ　彼が悪魔と判定される　（とりあえずＢ）

と、置きます。
このＡＤ大陸の住人は必ず天使か悪魔かのどちらかですから、
当然、
事象Ａと事象Ｄは背反です。一方が成り立てば必ず他方は成り立たない。


>>33　とは求めるものの記号が少し異なっていますが、

P_B(D)=P_D(B)・P(D)/P(B)・・・（式１）
P_B(A)=P_A(B)・P(A)/P(B)・・・（式２）

の２式を立てて、分母を消去します。

P_B(D)/P_B(A) = P_D(B)・P(D) / (P_A(B)・P(A))

左辺：彼が悪魔判定されたときに彼が悪魔である確率／彼が悪魔判定されたときに彼が天使である確率
右辺分子：彼が悪魔であるときに悪魔判定が出る確率・彼が悪魔である（事前）確率
右辺分母：彼が天使であるときに悪魔判定が出る確率・彼が天使である（事前）確率

左辺は事後確率（求めたいもの）、
右辺は悪魔チェッカーの結果を知る前に分かっている事前確率のみからなっています。

右辺はそれぞれ、問題文に与えられています。

P_D(B)=99/100
P_A(B)=10/100

ここで彼が悪魔である（天使である）事前確率は、
両親が天使、と分かっていますから、生まれる率から計算するのが、
最も妥当だと考えられます。そこで、
P(D)=1/10
P(A)=9/10

と、なります。

ここで、答えを計算する前に、ひとつ式を変換しておくと、
P_B(D)/P_B(A) = (P(D)/P(A))・(P_D(B)/P_A(B))
と、なります、

この式の意味ですが、
左辺は、悪魔判定が出た後の、【悪魔である確率と天使である確率の比】
となっていて、
右辺の
ひとつ目の括弧は、悪魔判定が出る前の、【悪魔である確率と天使である確率の比】
ふたつ目の括弧は、悪魔チェッカー（という新たな情報）によって得られた、確率判断の変化

と、言えます。
この形のまま、数値を代入しますと、

P_B(D)/P_B(A) = (1/9)・(99/10)

と、なります。
悪魔チェッカーを使う前には、両親が天使であることから、
彼が悪魔である確率：彼が天使である確率＝１：９と見積もれたのですが、
悪魔チェッカーの結果によってこれが、９９／１０ほど、悪魔側に寄った、
ということになります。

あとは、
P_B(A)=1-P_B(D)ですから、代入して整理すると、
彼が悪魔である確率は、１１／２１　となります。


数え上げによる解法は、たっくん４さんの解答　>>13 が分かりやすいので、
そちらをご参照いただければと思います。
ぼやき餅さんの解答　>>11　も、大変簡潔で分かりやすいと思います。
（分かりやすいご解答に感謝いたします）

追って、応用問題の方の解答も公開しますのでお待ち下さいませm(_'_)m