ｸｲｽﾞ大陸

大した証明ではないので発表する価値もなしと思って書かなかったのですが、
ご要望がありましたので書いておきます。
7個の場合、A=11で可能なことは確認できると思いますので、
Aが12以上になるのは不可能なことを示します。

Aを12以上にできると仮定します。
分銅を1個ものせない場合を除くと、分銅k個の状態の総数は3^k-1です。
左右を入れ替えても量れる重さは同じですので、量れる重さは最大で(3^k-1)/2種類。
分銅3個では最大13種類量れますが、分銅2個では最大4種類です。
よって、姉、妹の一方は分銅3個で他方は分銅4個です。
その3個の分銅の重さの和をx、4個の分銅の重さをyとすると、x+y=28、12≦x,y≦16。
3個の分銅を持っている方について考えます。

x-3が量れないとすると、x-3は13以上であり、x=16。
量れる重さは最大13種類なので、13,14,15は測定不可能であり、1,2,3の分銅はありません。
7の分銅が無いと和は最大15なので7があり、3個の分銅は(4,5,7)と決まります。
しかし、10が量れませんので矛盾。x-3は測定可能と分かります。

3個すべてを使って量れる重さの偶奇はxと等しいので、3個でx-3を量ることは不可能。
x-3は8以上なので1個で量ることはできませんし、2個の差として量ることもできません。
よってx-3は2個の和であり、他の1個は3と確定します。
x=12の場合、11を量るために1が必要ですが、1,3を含めると和が11以下ですので不適。
x-5は8以上となりますのでx-3のときと同様にx-5は2個の和であり、他の1個は5です。
2個が3,5なので、もう1個は6以上です。
(3,5,6)では7が量れず、(3,5,7)では6が量れませんので、どの場合も不可能と分かりました。


(4,5,7),(3,5,6),(3,5,7)が不適であることを示すために、ある値が量れないと書いていますが、
文章を短くするためです。
どれも和が13以上なので、次のように値が重複することを示す方が分かりやすいと思っています。
7-5=4+5-7
5-3=3+5-6
5-3=7-5