s_hskz
(翌日になりましてから文末に新しく追記しました。)
私もよくわかっていないのですが、あやふやな記憶によれば、たしかホテルが３の場合にはいろいろな研究があったはずですので近日中に調べて参ります。記憶違いの際にはご容赦のほどを、お願い致します。
（平方根とか出ていた気がします）
===
●追記
ホテルを３とし(冬をなくす)、秋から春に宿替えするルール変更をすると、一般解が知られているようです。
家族の人数をｎ人としホテル春に全員宿泊しているものとします。
１）ホテル夏に全員宿泊するために必要な最小日数（最適解…広く認められているもの）
((1+√3)^(1+n) - (1-√3)^(1+n))/(2√3) - 1
２）ホテル秋に全員宿泊するために必要な最小日数（最適解…但しs_hskzによる推定、７人までは確認済み）
((1+√3)^n - (1-√3)^n)/(2√3) + ((1+√3)^(1+n) - (1-√3)^(1+n))/(2√3) - 1
===
２）については資料に公式がなく、n=7 までの最適解日数のみ提示されていたため、公式を私が推定したにすぎません。
以上となります。
===
●さらに追記
ホテル秋への公式が別資料からみつかりましたのでさらに追記いたします。
((1+√3)^(n+2)-(1-√3)^(n+2))/(4*√3)-1
●８／２７追記
b(n+1)=a(n)+2b(n)+2=a(n+1)+a(n)+1
および
a(n+1)=2b(n)+1
からb(・)を消します。具体的には、
a(n+1)=2b(n)+1 なので
a(n+2)=2b(n+1)+1となり右辺は、
2(a(n+1)+a(n)+1 )+1 と等しいです。これを整理して、
a(n+2)=2*a(n+1)+2*a(n)+3 となります。
両辺に1を加えて、
a(n+2)+1=2*a(n+1)+2*a(n)+4
=2*(a(n+1)+1)+2*(a(n)+1)
ここで、c(n)=a(n)+1と定義すると、
c(n+2)=2*c(n+1)+2*c(n)
となります。 ここから先は高校数学の三項間漸化式の典型的な問題をとくことになります。 説明を省略しますが、上の三項間漸化式の特性方程式、
x^2-2x-2 = 0
のふたつの実根、 1+√3と1-√3とが、この数列の形に登場してくることになります。
……某さんがコメントなさったa(n)を解くと、別途私が資料から引用した公式が出てくるようです。
以上、ご報告致します。
1つ先が目的地の場合のとりあえず十分な手数をa(n),2つ先のそれをb(n)とすると、
a(1)=1 b(1)=2
a(n+1)=2b(n)+1
b(n+1)=a(n)+2b(n)+2=a(n+1)+a(n)+1
どう一般化したらいいのだろう。それ以前に、この式は最適な最大必要手数なのだろうかな・・・・・・と