ｸｲｽﾞ大陸

　
このスレッドから派生した出題、【東京五輪記念硬貨偽造事件】も、まもなく終了、クローズする運びとなりました。【東京五輪〜】のほうで、出題者の私が用意させて頂いた回答例には、以下の特質があります。
《（n-1）回目までの測定の結果を知らないままでn回目の測定を行う。》

【東京五輪〜】では、金貨５枚のうち１枚が軽い偽物、銀貨５枚のうち１枚が軽い偽物、これを天秤３回で特定してください、という出題でした。なお、今ごらんになっているスレッドで、YSSさんからご指摘頂いたように、金貨と偽金貨との重さの差は銀貨と偽銀貨との重さの差に等しいことが肝要でして、そうでなければ恐らくは解がないことでしょう。

さて、【東京五輪〜】の出題者による回答例は、以下の問題の解の一部です。

１１枚のコインがあり、うち２枚が軽いニセ金貨で、本物同士、ニセ物同士は重さが等しい、天秤４回でニセ金貨を特定して下さい。但し、《（n-1）回目までの測定の結果を知らないままでn回目の測定を行うこととします。》

１回目の測定では５枚同士で重さを比較した場合に、それが釣り合っているときにも、ニセ金貨は特定できなくてはいけません。ここで左の皿に乗せたものに１枚、右の皿にのせたものに１枚、ニセ金貨があることに着目すれば、左の皿には［金貨］右の皿には［銀貨］と名前をつけてしまえば、【東京五輪〜】の問題の出題者による回答例と等しくなります。

そこで、ちょっと考えてみたのですが、【東京五輪〜】では、天秤が３回使えますから、３の３乗＝２７の場合があり、一方、ニセ金貨とニセ銀貨の組み合わせは、５の２乗ですから、ギリギリな線でした。６枚どうしでは無理です。

ではあと１回天秤を使える回数を増やしたとしたならばどうでしょう。金貨と銀貨は何枚まで増やせるでしょう。
３の４乗は８１ですから、９の自乗と等しく、金貨銀貨１０枚同士の【東京五輪〜】は無理とわかります。また、検証してみないとわかりませんが、金貨銀貨９枚同士の【東京五輪〜】も、余裕度が無さすぎてかなり厳しいと思われます。金貨銀貨８枚同士ならば、あるいは解があるかもしれません。６４は８１に比べてかなり小さくみえます。天秤の能力に余裕がありそうです。

ここで【東京五輪〜】から離れて、親の問題に戻りますと、次の予想が生まれます。すなわち、次の問い１から３までについて

●問い１
２１枚のコインがあり、うち２枚が軽いニセ金貨で、本物同士、ニセ物同士は重さが等しい、天秤５回でニセ金貨を特定して下さい。但し、《（n-1）回目までの測定の結果を知らないままでn回目の測定を行うこととします。》

●問い２
１９枚のコインがあり、うち２枚が軽いニセ金貨で、本物同士、ニセ物同士は重さが等しい、天秤５回でニセ金貨を特定して下さい。但し、《（n-1）回目までの測定の結果を知らないままでn回目の測定を行うこととします。》

●問い３
１７枚のコインがあり、うち２枚が軽いニセ金貨で、本物同士、ニセ物同士は重さが等しい、天秤５回でニセ金貨を特定して下さい。但し、《（n-1）回目までの測定の結果を知らないままでn回目の測定を行うこととします。》

予想としては
問い１には解がないかもしれない、
問い２に解があるかもしれないがかなり厳しそう、
問い３は、ある程度余裕がありそう……となります。

今ごらんになっているスレッドで、たびたび引き合いに致しました、月刊誌『現代数学』の１０月号の記事によれば、天秤５回のパズルは闇のなかの模様です。あらゆるテクニックを駆使して高速化したプログラムでも、個人が所有しているパソコンでは、全数検査が終わらない模様です。

●問いΩ
Ｘ枚のコインがあり、うち２枚が軽いニセ金貨で、本物同士、ニセ物同士は重さが等しい、天秤５回でニセ金貨を特定して下さい。但し、《（n-1）回目までの測定の結果を知らないままでn回目の測定を行うこととします。》

この問いに解があるようなＸの最大値については、何もわかっていないのです。

【東京五輪〜】の問題は、何か新しい知見が得られないものかと手を出したものの今だ至らず、の過程で得られた副産物なのでした。