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s_hskz
2015/09/13 23:22
『壊れた天秤で……』の出題について、意図していた第１の解法を御説明するものです。用意していた、これ以外の解法については別途投稿させて頂きたく存じます。
§計測方法
①ＢＥ＾ＣＤ
②ＣＡ＾ＤＥ
③ＤＢ＾ＥＡ
④ＥＣ＾ＡＢ
⑤ＡＤ＾ＢＣ
【見取図】
＼＼①②③④⑤
Ａ：－ＬＲＲＬ
Ｂ：Ｌ－ＬＲＲ
Ｃ：ＲＬ－ＬＲ
Ｄ：ＲＲＬ－Ｌ
Ｅ：ＬＲＲＬ－
※Ｌは左に乗せる、Ｒは右に乗せる、－は乗せない、の意味です。
まずは①から⑤までを量ってしまいます。
§計測結果の解釈方法
天秤１台が壊れていなかったとします。このとき、以下のことが言えます。とても大事な性質です。
全て正常な①から⑤までの５台のうち、任意の３台の計測結果のみからニセ金貨が特定できます。
任意の３台の計測は、他の任意の３台の計測と本質的な差はありません。コインにつけた名前、天秤の番号、天秤に乗せるときの左右、これら３つの状況を適宜いれかえると同じものになってしまいます。ニセ金貨を特定する性能は全く等価です。（紙面の都合上、詳細を述べません。申し訳ありませんが、お確かめ下さいますようお願い申し上げます。実質的には１０÷５＝２通りくらいなものです。５台を円周上に均等にならべ、使わなかった天秤が隣どうしなのか、ひとつ間があいているか、の区別の２通りです。）なお、３台ひと組の計測は全部で１０通りとなります。それぞれニセ金貨を特定しますから本投稿では以後、特定結果とも言います。
さて、１台は壊れていて当てにならないのでした。３台ひと組の全計測結果からもたらせられる１０の特定結果のうち、信頼できるものは４つ、壊れた天秤のせいで汚染されたものは６つ、となります。多数決ではかなわないように見えますが、そうではなく、正しい４つの特定結果を見分けることが出来ます。
１０通りの特定結果を以下の要領で紙に記します。
①から⑤までをピラミッドの土台とみなし、適切な位置に特定結果の石を積み上げます。
次の図は、①③④の３つの天秤の計測結果から特定されるニセ金貨を記す場所を示しています。②と⑤は使わないのですが、その②の右斜め上のラインと⑤の左斜め上のラインとが交わる場所に特定結果を書きます。ｏがその位置となります。特定結果は、たとえば、ＡＥと書いたり、Ｃと書いたりすることになります。
===
◇
◇ Ｏ
◇ ◇ ◇
◇ ◇ ◇ ◇
① ２ ③ ④ ５
===
全く同様にして他の９個の特定結果を、それぞれで使わなかった２つの天秤の斜め上のラインが交差するところに書きます。全部書き入れ終わった時には、壊れた天秤の番号により、以下の５通りのうちのどれかが出現します。Ｏは信頼できる４つの特定結果を示し、？は、壊れた天秤のせいで汚染された６つの結果が記されています。また、Ｘは壊れた天秤を意味します。なお？のそれぞれに同一の特定結果が書かれるとは限りません。Ｏのそれぞれには同一の特定結果が書かれます。？に書かれる内容は必ずＯとは異なります。
===
⑤が壊れている
Ｏ
？ Ｏ
？ ？ Ｏ
？ ？ ？ Ｏ
① ② ③ ④ Ｘ
===
④が壊れている
？
Ｏ ？
？ Ｏ ？
？ ？ Ｏ Ｏ
① ② ③ Ｘ ⑤
===
③が壊れている
？
？ ？
Ｏ ？ Ｏ
？ Ｏ Ｏ ？
① ② Ｘ ④ ⑤
===
②が壊れている
？
？ Ｏ
？ Ｏ ？
Ｏ Ｏ ？ ？
① Ｘ ③ ④ ⑤
===
①が壊れている
Ｏ
Ｏ ？
Ｏ ？ ？
Ｏ ？ ？ ？
Ｘ ② ③ ④ ⑤
===
どの天秤も壊れていないときには１０個の特定結果は全て同じになりますので考察対象からはずします。
さて、上記５通りにて、正しい４つの特定結果、Ｏの配置は、斜めのラインからなっていて、それを上から下に辿って到着するところに壊れた天秤があります。このようなＯには同一の特定結果が書かれていますから検出は容易でしょう。
また、？がいくら特定結果について嘘を示したとしても、それらの配置は、正しい４つの特定結果の配置に似ることはありません。？の配置はＯにブロックされているからです。このようにして４つの正しい特定結果を６つの信頼できない特定結果と見分けることができます。
上のピラミッドは紙に簡単に図示できるものとしてこのたび用意しました。しかし、より本質的な図形的な理解もあります。正五包体を使う理解です。正五包体は５個の頂点と１０個の正三角形の面からなる図形です。（本パズルの解説には直接には関係ありませんが辺の個数も１０です）また、包と呼ばれる正四面体を５個含みます。正五包体は四次元空間上に存在する図形ですのでなかなか直感的な把握は難しいのですが三次元空間上に展開図を書いたものがＧｏｏｇｌｅ画像検索で多量にみつかりますので展覧会でも見る気分になって御覧になってみてはいかがでしょうか。私が一番気に入ったものはカラー綿棒を１０本用意して辺とみなし組み立ててあるものです。機会があれば自作したいと願っています。
さて繰り返しになりますが正五包体は５個の頂点と１０個の正三角形の面からなる図形です。５つの頂点にはそれぞれ５台の天秤の比較結果（左が軽い、右側軽い、釣り合った）のラベルを貼り付けます。それにともない、１０個の面、正三角形には、三つ組の比較結果からはじき出されたニセ金貨の特定結果を書き込みます。
頂点のひとつＸが示す天秤が壊れていたとしましょう。Ｘを含む面（正三角形）に書かれる間違った特定結果？は合計６個ですが、それらの面は丁度Ｘを中心とした花びらのように広がっています。また、残りの頂点の４つは正四面体を構成しその４つの面（正三角形）には正しい特定結果が書かれています。それらは丁度、つぼみのようにしっかりと互いに支えあいくっついています。このつぼみの周囲を取り囲むようにして先程の花びらが寄り添っているイメージとなります。このような視点からも４つの正しい特定結果を６つの信頼できない特定結果と見分けることができます。
以下、投稿長制限にひっかかったため次の投稿に続きます。
『壊れた天秤で……』の出題について、意図していた第１の解法を御説明するものです。用意していた、これ以外の解法については別途投稿させて頂きたく存じます。
§計測方法
①ＢＥ＾ＣＤ
②ＣＡ＾ＤＥ
③ＤＢ＾ＥＡ
④ＥＣ＾ＡＢ
⑤ＡＤ＾ＢＣ
【見取図】
＼＼①②③④⑤
Ａ：－ＬＲＲＬ
Ｂ：Ｌ－ＬＲＲ
Ｃ：ＲＬ－ＬＲ
Ｄ：ＲＲＬ－Ｌ
Ｅ：ＬＲＲＬ－
※Ｌは左に乗せる、Ｒは右に乗せる、－は乗せない、の意味です。
まずは①から⑤までを量ってしまいます。
§計測結果の解釈方法
天秤１台が壊れていなかったとします。このとき、以下のことが言えます。とても大事な性質です。
全て正常な①から⑤までの５台のうち、任意の３台の計測結果のみからニセ金貨が特定できます。
任意の３台の計測は、他の任意の３台の計測と本質的な差はありません。コインにつけた名前、天秤の番号、天秤に乗せるときの左右、これら３つの状況を適宜いれかえると同じものになってしまいます。ニセ金貨を特定する性能は全く等価です。（紙面の都合上、詳細を述べません。申し訳ありませんが、お確かめ下さいますようお願い申し上げます。実質的には１０÷５＝２通りくらいなものです。５台を円周上に均等にならべ、使わなかった天秤が隣どうしなのか、ひとつ間があいているか、の区別の２通りです。）なお、３台ひと組の計測は全部で１０通りとなります。それぞれニセ金貨を特定しますから本投稿では以後、特定結果とも言います。
さて、１台は壊れていて当てにならないのでした。３台ひと組の全計測結果からもたらせられる１０の特定結果のうち、信頼できるものは４つ、壊れた天秤のせいで汚染されたものは６つ、となります。多数決ではかなわないように見えますが、そうではなく、正しい４つの特定結果を見分けることが出来ます。
１０通りの特定結果を以下の要領で紙に記します。
①から⑤までをピラミッドの土台とみなし、適切な位置に特定結果の石を積み上げます。
次の図は、①③④の３つの天秤の計測結果から特定されるニセ金貨を記す場所を示しています。②と⑤は使わないのですが、その②の右斜め上のラインと⑤の左斜め上のラインとが交わる場所に特定結果を書きます。ｏがその位置となります。特定結果は、たとえば、ＡＥと書いたり、Ｃと書いたりすることになります。
===
◇
◇ Ｏ
◇ ◇ ◇
◇ ◇ ◇ ◇
① ２ ③ ④ ５
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全く同様にして他の９個の特定結果を、それぞれで使わなかった２つの天秤の斜め上のラインが交差するところに書きます。全部書き入れ終わった時には、壊れた天秤の番号により、以下の５通りのうちのどれかが出現します。Ｏは信頼できる４つの特定結果を示し、？は、壊れた天秤のせいで汚染された６つの結果が記されています。また、Ｘは壊れた天秤を意味します。なお？のそれぞれに同一の特定結果が書かれるとは限りません。Ｏのそれぞれには同一の特定結果が書かれます。？に書かれる内容は必ずＯとは異なります。
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⑤が壊れている
Ｏ
？ Ｏ
？ ？ Ｏ
？ ？ ？ Ｏ
① ② ③ ④ Ｘ
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④が壊れている
？
Ｏ ？
？ Ｏ ？
？ ？ Ｏ Ｏ
① ② ③ Ｘ ⑤
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③が壊れている
？
？ ？
Ｏ ？ Ｏ
？ Ｏ Ｏ ？
① ② Ｘ ④ ⑤
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②が壊れている
？
？ Ｏ
？ Ｏ ？
Ｏ Ｏ ？ ？
① Ｘ ③ ④ ⑤
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①が壊れている
Ｏ
Ｏ ？
Ｏ ？ ？
Ｏ ？ ？ ？
Ｘ ② ③ ④ ⑤
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どの天秤も壊れていないときには１０個の特定結果は全て同じになりますので考察対象からはずします。
さて、上記５通りにて、正しい４つの特定結果、Ｏの配置は、斜めのラインからなっていて、それを上から下に辿って到着するところに壊れた天秤があります。このようなＯには同一の特定結果が書かれていますから検出は容易でしょう。
また、？がいくら特定結果について嘘を示したとしても、それらの配置は、正しい４つの特定結果の配置に似ることはありません。？の配置はＯにブロックされているからです。このようにして４つの正しい特定結果を６つの信頼できない特定結果と見分けることができます。
上のピラミッドは紙に簡単に図示できるものとしてこのたび用意しました。しかし、より本質的な図形的な理解もあります。正五包体を使う理解です。正五包体は５個の頂点と１０個の正三角形の面からなる図形です。（本パズルの解説には直接には関係ありませんが辺の個数も１０です）また、包と呼ばれる正四面体を５個含みます。正五包体は四次元空間上に存在する図形ですのでなかなか直感的な把握は難しいのですが三次元空間上に展開図を書いたものがＧｏｏｇｌｅ画像検索で多量にみつかりますので展覧会でも見る気分になって御覧になってみてはいかがでしょうか。私が一番気に入ったものはカラー綿棒を１０本用意して辺とみなし組み立ててあるものです。機会があれば自作したいと願っています。
さて繰り返しになりますが正五包体は５個の頂点と１０個の正三角形の面からなる図形です。５つの頂点にはそれぞれ５台の天秤の比較結果（左が軽い、右側軽い、釣り合った）のラベルを貼り付けます。それにともない、１０個の面、正三角形には、三つ組の比較結果からはじき出されたニセ金貨の特定結果を書き込みます。
頂点のひとつＸが示す天秤が壊れていたとしましょう。Ｘを含む面（正三角形）に書かれる間違った特定結果？は合計６個ですが、それらの面は丁度Ｘを中心とした花びらのように広がっています。また、残りの頂点の４つは正四面体を構成しその４つの面（正三角形）には正しい特定結果が書かれています。それらは丁度、つぼみのようにしっかりと互いに支えあいくっついています。このつぼみの周囲を取り囲むようにして先程の花びらが寄り添っているイメージとなります。このような視点からも４つの正しい特定結果を６つの信頼できない特定結果と見分けることができます。
以下、投稿長制限にひっかかったため次の投稿に続きます。