ｸｲｽﾞ大陸

解答です．

数列{2^n}の下m桁の最小周期がrであるとすれば
2^n＋r−2ⁿ＝α×10^m
を満たすような，10の倍数でない自然数αが存在する．
ここで，2ⁿはm桁以上である必要があるので，少なくともn≧mが成り立つ．
両辺を2^mで割ると
2^n−m(2^r−1)＝α×5^m　…(1)
となる．

次に下m＋1桁の最小周期を求めよう．これが下m桁の最小周期の整数倍になるのは明らかなので，これをsrと置く．sは自然数である．すると次式を満たす10の倍数でない自然数βが存在する．
2^n＋sr−2ⁿ＝β×10^m＋1
両辺を2^m＋1で割ると
2^n−m−1(2^sr−1)＝β×5^m＋1　…(2)
(2)式の左辺を因数分解すると
2^n−m−1(2^r−1)(2^r(s−1)＋2^r(s−2)＋…＋2^r＋1)
となるが，これと(1)式を用いると，(2)式は次のように書ける．
2^n−m−1×α×5^m×(2^r(s−1)＋2^r(s−2)＋…＋2^r＋1)＝β×5^m＋1
これを整理すると
2^n−m−1×{2^r(s−1)＋2^r(s−2)＋…＋2^r＋1}＝5×β/α　…(3)

(1)(2)式を見ればわかる通り，α,βはいずれも偶数である．偶数であって10の倍数ではないのだから5の倍数であってはならない．よって(3)式より左辺の{}内は5の倍数である．そのようになる最小のsは5である．

下1桁の最小周期が4であるので，帰納的に下m桁の最小周期は4×5^m−1であることがわかった．

2ⁿにおいて，下m桁がとり得る値を考える．10^mは2^mの倍数であるので，下m桁が2^mの倍数であれば，全体として2^mの倍数である．そのうち，末尾が0のものはとりえない．
m桁以下の数のうち，2^mの倍数であり，末尾が0でない数の個数を求めよう．
m桁以下の非負整数は10^m個あり，そのうち2^mの倍数であるものは5^m個ある．更に，そのうち末尾が0であるものは全て2^m×5の倍数になっているので，その個数は5^m−1個である．よって，それを除くと条件を満たす数の個数は4×5^m−1となる．

これは，下m桁の最小周期と同じであるので，結局，2ⁿの下m桁は2^mの倍数であって末尾が0でないものを1回ずつとって1周期をなす．

よって，下m桁のうち最小のものは0000000…0002^mである(2^mの桁数がpであるならば0はm−p個並んでいる)．つまり，桁数関数f(m)を2^mの桁数であるとすれば，下m桁にはm−f(m)個の0が並ぶ．

mを1増やすと，f(m)は増えないか，あるいは1増えるかである．したがって，m−f(m)は増えないか，1増えるかであり，最小の1−f(1)＝0以上の全ての整数値をとりながら増えていく．よって，m−f(m)＝2015となるmも存在するので，0がちょうど2015個だけ並ぶ2ⁿは存在する．