ｸｲｽﾞ大陸

さらにヒントです。

捕らわれている小人が10人の場合に、確実に助かる方法があるのか考えてみましょう。
最終的な目のパターンから姫の動かしたサイコロが確実に特定できると仮定します。
姫がサイコロを動かす前の目のパターンをAとします。
姫が動かしたサイコロをXとし、姫の操作によりパターンBに変化したものとします。
代表者がサイコロを動かしてパターンCに変化したとします。
パターンAの総数は6^10。
あるXについてのみ考えると、パターンAとパターンBは1対1に対応します。
一つのXに対応するパターンBの総数も6^10です。
一つのパターンCに対応するパターンBの個数は10個。
一つのXに対応するパターンCの総数をkとすると、
それらに対応するパターンBは重複することがないので、
一つのXに対応するパターンBの総数は10kと分かります。
よって、10k=6^10でなくてはいけませんが、
左辺は10の倍数、右辺は10の倍数ではないので矛盾します。

10人の場合には確実に助かる方法はないと分かりましたが、
人数が異なればうまくいく場合がありそうです。
10人の場合と同様の議論で人数の満たすべき条件が簡単に得られます。

問題文を確認してみると、
・姫がゲームを持ちかけた時点で捕まっている小人全員がサイコロを振る
・現時点で捕まっている小人は10人
・ゲーム開始まで半日ある
ということは客観的に読み取れます。
ゲーム開始時点で捕まっている小人が10人だとはどこにも書かれていませんので、
異なる人数にできる可能性があります。
「下手に姿を見せると俺たちまで捕まってしまうぞ」
と書かれていますから、わざと捕まれば人数を増やすことができると推察できるでしょう。
「捕らわれている小人全員が助かる」
「このゲームに勝つこと以外に助かる術はありません」
とありますので、人数を減らすのは無理と考えてよいでしょう。
ゲームに参加する小人の人数は10人から15人のいずれかです。
先程の条件を加味すれば人数の候補は一つになります。
その人数の場合には確実に助かる方法が存在します。