ゆりあ
隣接する円の中心点同士を結んでできるＮ角形（角が180°になる場合も含む）
その内部にある数珠（角が60°〜300°の扇形）の面積の総和が一定である
という証明は、内角の和が一定である証明とほぼ同じなので、省略します。
よって、この問題は、おっしゃるように、以下の多角形の等周問題と同じです。
「周の長さが一定な多角形のうち、面積が最大なものは正多角形である」
今回の場合、周の長さがＮ＝２６、辺の長さが自然数であるとき、面積が最大になる条件は（どんな多角形か）？ という問題ともいえます。
私が簡単といったのは、「Ｎ角形の面積が最大＝正Ｎ角形」を自明として扱う前提
（ゆえにこのことを知っている皆さんもお答えになっているのだと思っています）
なので、多角形の等周問題自体の証明は難しいです
大学生向けの証明はあるでしょうけど、誰にでもわかるような（高校生向けの）証明があるか、ちょっと探してみます
「辺の長さが一定の3辺が等しい四角形のうち、面積が最大なのは等脚台形である」ことを示せれば良いとは思いましたが、その証明もできなくはないですが煩雑なものになると思いました。
多角形の等周問題からこの問題(多角形の全辺が等しい)にはすぐ持っていけるので、ほぼ等周問題と同じと見てよいとは思うのですが。
最大が正多角形であるのを示すので、円盤の重なり(内角が60°以上)を気にする必要もないですし。