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あれれ
2015/01/02 21:39
n回目の配置がX、n+1回目の配置が転がす方向に応じてX1,X2,X3,X4だとします。
これをX->X1,X2,X3,X4と略記します。
ある配置から配置Fまでにかかる回数の期待値を小文字で表すことにします。
配置Xから配置Fまでにかかる回数の期待値はxです。
当然f=0です。
このとき、x=1/4*(1+x1)+1/4*(1+x2)+1/4*(1+x3)+1/4*(1+x4)
4x=4+x1+x2+x3+x4
が成り立ちます。
A->B,B,B,B
B->C1,C1,B,C2
C1->D2,C1,C1,D2
C2->D1,D1,C3,D3
C3->D1,D1,C2,C2
D1->D2,D2,D1,E1
D2->E1,D1,D1,E1
D3->E2,E2,D3,D3
E1->E1,E1,E2,F
E2->E1,E1,E1,E1
ですので、
4a=4+4b
4b=4+2c1+b+c2
4c1=4+d2+2c1+d2
4c2=4+2d1+c3+d3
4c3=4+2d1+2c2
4d1=4+2d2+d1+e1
4d2=4+e1+2d1+e1
4d3=4+2e2+2d3
4e1=4+2e1+e2+f
4e2=4+4e1
これを解くと、
e1=5
e2=6
d1=8
d2=15/2
d3=8
c1=19/2
c2=66/7
c3=68/7
b=227/21
a=248/21
1回目で配置Aになりますので、求める期待値はa+1=269/21
これをX->X1,X2,X3,X4と略記します。
ある配置から配置Fまでにかかる回数の期待値を小文字で表すことにします。
配置Xから配置Fまでにかかる回数の期待値はxです。
当然f=0です。
このとき、x=1/4*(1+x1)+1/4*(1+x2)+1/4*(1+x3)+1/4*(1+x4)
4x=4+x1+x2+x3+x4
が成り立ちます。
A->B,B,B,B
B->C1,C1,B,C2
C1->D2,C1,C1,D2
C2->D1,D1,C3,D3
C3->D1,D1,C2,C2
D1->D2,D2,D1,E1
D2->E1,D1,D1,E1
D3->E2,E2,D3,D3
E1->E1,E1,E2,F
E2->E1,E1,E1,E1
ですので、
4a=4+4b
4b=4+2c1+b+c2
4c1=4+d2+2c1+d2
4c2=4+2d1+c3+d3
4c3=4+2d1+2c2
4d1=4+2d2+d1+e1
4d2=4+e1+2d1+e1
4d3=4+2e2+2d3
4e1=4+2e1+e2+f
4e2=4+4e1
これを解くと、
e1=5
e2=6
d1=8
d2=15/2
d3=8
c1=19/2
c2=66/7
c3=68/7
b=227/21
a=248/21
1回目で配置Aになりますので、求める期待値はa+1=269/21