ｸｲｽﾞ大陸

それでは解答です。

実際の問題では、
log₂3=1.5849
log₃2=0.6309
が与えられていました。

100番目はもちろん2ⁿか3ⁿかのどちらかです。
仮に100番目が2ⁿだとすると、
1〜99番目の中には2¹から2^n-1までの
計n-1個の2の累乗数があることになります。
ということは同じ領域に3の累乗数は計100-n個あり、
3¹から3^100-nまでがあることになります。
3^101-nは100番目よりも後にあるので、

3^100-n<2ⁿ<3^101-n

が成り立ちます。この不等式を与えられた対数や常用対数などを使って解くと、

61.3147<n<61.9278

となり、もちろんnは自然数ですのでこれを満たすnはありません。
つまり、100番目は2ⁿではないことが分かります。

同様にして、100番目が3ⁿだとすると、

2^100-n<3ⁿ<2^101-n

38.6852<n<39.0721

となり、n=39、つまり100番目は3³⁹であることが分かります。

実際に100番目の前後にくる数をそのまま計算するなら、

2⁶¹<3³⁹<2⁶²

を最低限示せば3³⁹が100番目である根拠になります。
だいたいの方はこの大小関係をどうにかして証明するという方針でしたね。
もちろんこの式自体はlogで簡単に示せるのですが。

要するに
「恐らく100番目は2⁶⁰や3⁴⁰あたりではないか？
ならそのあたりの数の大小関係を調べればいいか」
というやり方は普通に良いと思うのですが、
もしその予想が外れていたときや、1000番目や10000番目を求めるときには
比較の回数が多くなり大変になる可能性があると思うのです。

それに比べてこの模範解答のやり方は２通りの不等式を解くだけですので、
大きな遠回りをしてしまう危険性が無いのが素晴らしいと思いました。
ちなみに1000番目は3³⁸⁷、10000番目は2⁶¹³²であり、
これらも簡単に求められます。

シンプルな問題にはスマートな解答で対応したいものですね