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ゆりあ
2014/12/19 02:01
たとえば、100番の鉛筆について考えると、
100は 2×2×5×5 なので 1,2,4,5,10,20,25,50,100の倍数 である。
そして、各約数kについて操作kでk/6回転し、最終的にその合計分だけ回転して終わる。
言い換えれば「n番の鉛筆は [nの約数の総和]×1/6回転する」であり、この文章題は
★「1〜100の自然数において、約数の総和を6で割ったときの余りで一番多いものはどれか」★
という問題に等しい。（0⇒A, 1⇒B, 2⇒C, 3⇒D, 4⇒E, 5⇒F）
以下では「pは6で割ってr余る数」ということを合同式「p ≡ r mod 6」で表す。
合同式は、整数についての四則演算が可能であるという性質を持つ。
（例）9 ≡ 3 mod 6, 11 ≡ 5 mod 6 において
和 ： 9＋11 ≡ 3＋5 ≡ 8 ≡ 2 mod 6
積 ： 9×11 ≡ 3×5 ≡ 15 ≡ 3 mod 6
不慣れな人は都度確認することをお勧めする。
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自然数nの「素因数分解」とは「素数の累乗の積」として表すことである。
すなわち、p1, p2, p3･･･ を素数、それらの累乗数を順に a1, a2, a3･･･ とすると、
n ＝ p1a1 × p2a2 × p3a3 × ･･･ × pkak × ･･･
と表される。また、その約数の総和σ(n)は「『素因数の0乗から累乗数乗まで和』の積」であり
σ(n) ＝ ( p10＋p11＋p12＋･･･＋p1a1 )×(p20＋p21＋p22＋･･･＋p2a2 )× ･･･
と表される。
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さて、6の倍数にどんな整数をかけても6の倍数であり、6で割ったときの余りは0であるから
「σ(n)≡ 0 mod 6」になるようなnに対して目星をつけて考える。
素数pに対して「p ≡ 5 mod 6」のとき
p奇数 ≡ 5 mod 6, p偶数 ≡ 1 mod 6
なので、aが奇数のとき σ(pa)≡ 0 mod 6 である。
すなわち、aが奇数、nがpaの倍数であり、pa+1の倍数でないならば σ(n)≡ 0 mod 6 となる
(1) p ≡ 5 mod 6 を満たす素数p（3乗以上は最低でも100を超えるので1乗だけを考える）
5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89 （12個）
(2) (1)を満たすpに対して、pの倍数となるn（ (1)の数, 25, 50, 75, 100を除く）
【5の倍数】10, 15, 20, 30, 35, 40, 45, 55, 60, 65, 70, 80, 85, 90, 95（15個）
【11の倍数】22, 33, 44, 66, 77, 88, 99（7個）
【17の倍数】34, 51, 68（3個）
【23の倍数】46, 69, 92（3個）
【29の倍数】58, 87（2個）
【41の倍数】82（1個）
【47の倍数】94（1個）
------------------------------------------------------------------------------
次に、素数pに対して「p ≡ 2 mod 6」 の場合（これを満たすのはp＝2のみ）
p奇数 ≡ 2 mod 6, p偶数 ≡ 4 mod 6
なので、aが奇数のとき σ(pa) ≡ 3 mod 6 である。
また、3以上の素数pに対して、aが奇数のとき
σ(pa)は奇数の偶数回の和、すなわち偶数なので、6で割った余りは0, 2, 4のいずれか。
したがって、
n ＝ [2奇数 × (3以上の素数)奇数] の倍数
とおけば、σ(n)≡ 0 mod 6
(1)を除く100までの素数 3, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97 を考えればよい。
(3) [2奇数 × (3以上の素数)奇数] の倍数
【2×素数】6, 14, 26, 38, 64, 74, 86（7個）
【2×素数3】54（1個）
【2×いくつかの素数】42, 78（2個）
【23×素数】24,56（2個）
【25×素数】96（1個）
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(1),(2),(3)で合計57個の数に関して、その約数の総和が6の倍数になることがわかった。
57は100の過半数であることから、
「1〜100の自然数において、約数の総和を6で割ったときの余りで一番多いものは 0」
となる。
★答えは「A」★
100は 2×2×5×5 なので 1,2,4,5,10,20,25,50,100の倍数 である。
そして、各約数kについて操作kでk/6回転し、最終的にその合計分だけ回転して終わる。
言い換えれば「n番の鉛筆は [nの約数の総和]×1/6回転する」であり、この文章題は
★「1〜100の自然数において、約数の総和を6で割ったときの余りで一番多いものはどれか」★
という問題に等しい。（0⇒A, 1⇒B, 2⇒C, 3⇒D, 4⇒E, 5⇒F）
以下では「pは6で割ってr余る数」ということを合同式「p ≡ r mod 6」で表す。
合同式は、整数についての四則演算が可能であるという性質を持つ。
（例）9 ≡ 3 mod 6, 11 ≡ 5 mod 6 において
和 ： 9＋11 ≡ 3＋5 ≡ 8 ≡ 2 mod 6
積 ： 9×11 ≡ 3×5 ≡ 15 ≡ 3 mod 6
不慣れな人は都度確認することをお勧めする。
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自然数nの「素因数分解」とは「素数の累乗の積」として表すことである。
すなわち、p1, p2, p3･･･ を素数、それらの累乗数を順に a1, a2, a3･･･ とすると、
n ＝ p1a1 × p2a2 × p3a3 × ･･･ × pkak × ･･･
と表される。また、その約数の総和σ(n)は「『素因数の0乗から累乗数乗まで和』の積」であり
σ(n) ＝ ( p10＋p11＋p12＋･･･＋p1a1 )×(p20＋p21＋p22＋･･･＋p2a2 )× ･･･
と表される。
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さて、6の倍数にどんな整数をかけても6の倍数であり、6で割ったときの余りは0であるから
「σ(n)≡ 0 mod 6」になるようなnに対して目星をつけて考える。
素数pに対して「p ≡ 5 mod 6」のとき
p奇数 ≡ 5 mod 6, p偶数 ≡ 1 mod 6
なので、aが奇数のとき σ(pa)≡ 0 mod 6 である。
すなわち、aが奇数、nがpaの倍数であり、pa+1の倍数でないならば σ(n)≡ 0 mod 6 となる
(1) p ≡ 5 mod 6 を満たす素数p（3乗以上は最低でも100を超えるので1乗だけを考える）
5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89 （12個）
(2) (1)を満たすpに対して、pの倍数となるn（ (1)の数, 25, 50, 75, 100を除く）
【5の倍数】10, 15, 20, 30, 35, 40, 45, 55, 60, 65, 70, 80, 85, 90, 95（15個）
【11の倍数】22, 33, 44, 66, 77, 88, 99（7個）
【17の倍数】34, 51, 68（3個）
【23の倍数】46, 69, 92（3個）
【29の倍数】58, 87（2個）
【41の倍数】82（1個）
【47の倍数】94（1個）
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次に、素数pに対して「p ≡ 2 mod 6」 の場合（これを満たすのはp＝2のみ）
p奇数 ≡ 2 mod 6, p偶数 ≡ 4 mod 6
なので、aが奇数のとき σ(pa) ≡ 3 mod 6 である。
また、3以上の素数pに対して、aが奇数のとき
σ(pa)は奇数の偶数回の和、すなわち偶数なので、6で割った余りは0, 2, 4のいずれか。
したがって、
n ＝ [2奇数 × (3以上の素数)奇数] の倍数
とおけば、σ(n)≡ 0 mod 6
(1)を除く100までの素数 3, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97 を考えればよい。
(3) [2奇数 × (3以上の素数)奇数] の倍数
【2×素数】6, 14, 26, 38, 64, 74, 86（7個）
【2×素数3】54（1個）
【2×いくつかの素数】42, 78（2個）
【23×素数】24,56（2個）
【25×素数】96（1個）
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(1),(2),(3)で合計57個の数に関して、その約数の総和が6の倍数になることがわかった。
57は100の過半数であることから、
「1〜100の自然数において、約数の総和を6で割ったときの余りで一番多いものは 0」
となる。
★答えは「A」★